9.46 Sejam as fases
, cada uma delas constituída pelos líquidos 1 e 2, que estão em equilibrio entre si. Mostre que se as substâncias 1 e 2 formam soluções ideais, então
e
. Portanto, as duas fases têm a mesma composição e são, na realidade, uma única fase. Logo, os líquidos que formam soluções ideais são miscíveis em todas as proporções.
Passo 1
O enunciado dá duas fases líquidas,
e
, cada uma contendo as substâncias 1 e 2, e diz que as duas fases estão em equilíbrio entre si. O que é pedido: mostrar que, se 1 e 2 formam soluções ideais, então
e
; concluir que as duas fases têm a mesma composição e, portanto, que os líquidos que formam solução ideal são miscíveis em todas as proporções.
Informações relevantes dadas:
- Existem duas fases líquidas
e em equilíbrio. - Cada fase contém os componentes 1 e 2.
- As substâncias 1 e 2 formam solução ideal (isso será usado na expressão da atividade).
Passo 2
Condição fundamental de equilíbrio para cada componente: explicação e escrita da condição. Em equilíbrio térmico e mecanicamente (mesma temperatura
e pressão
) a condição para que não haja transferência líquida de cada componente entre fases é que o potencial químico do componente seja igual nas duas fases. Definição e notação:
é o potencial químico (energia livre molar parcial) do componente
.
A condição de equilíbrio para cada componente é
A condição de equilíbrio para cada componente
Aqui aplicamos isto para
e
:
Explicação didática: o potencial químico
é a grandeza que “quer” igualar-se entre fases para que não haja fluxo líquido de
. Em provas, sempre que diz “duas fases em equilíbrio”, escreva imediatamente
igual entre elas para cada componente.
Passo 3
Expressão geral do potencial químico em solução e significado dos termos. Para uma mistura em temperatura
e pressão
, o potencial químico do componente
pode ser escrito em termos de uma referência (potencial padrão) e da atividade
:
Aqui:
-
é o potencial químico padrão (por exemplo, do componente puro na mesma ); -
é a constante universal dos gases; -
é a temperatura absoluta; -
é a atividade do componente na mistura (uma medida efetiva da “concentração” termodinâmica).
Explicação amigável: essa fórmula diz que o potencial químico do componente na solução difere do do componente puro por um termo proporcional ao logaritmo da sua atividade; maior atividade → maior
.
Passo 4
Caracterização de solução ideal e substituição da atividade pela fração molar. Para uma solução ideal a definição é que a atividade do componente
é igual à sua fração molar
:
Justificativa curta: solução ideal obedece à lei de Raoult e não tem desvios de idealidade; em termos termodinâmicos, a atividade coincide com a fração molar. Portanto, para solução ideal substituímos
por
na expressão do potencial químico:
Expliquei o que é cada símbolo antes, então podemos usar essa forma diretamente.
Passo 5
Aplicar a condição de equilíbrio para o componente 1 usando a expressão para solução ideal. A condição
torna-se
Observação importante e esclarecedora:
é o potencial químico padrão do componente 1 nas mesmas
; é a mesma quantidade para as duas fases, porque é uma propriedade do componente puro nas mesmas condições, não da fase mista. Logo os termos
cancelam.
Passo 6
Simplificação da equação e resolução para as frações molares de 1. Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
obtemos:
Aplicando a função exponencial (inversa do logaritmo) em ambos os lados:
Explicação passo a passo: se dois logaritmos naturais são iguais, os argumentos também são iguais; portanto as frações molares de
nas fases
e
coincidem.
Passo 7
Deduzir a igualdade para o componente 2 usando a soma das frações molares. Em qualquer mistura binária temos, numa fase qualquer,
Aplicando isso nas fases
e
e usando
segue:
Portanto também
.
Passo 8
Conclusão física e interpretação final. Se as duas fases têm as mesmas frações molares de cada componente, então têm a mesma composição química. Duas porções com a mesma composição são, termodinamicamente, a mesma fase; não há separação de fases distinta. Conclusão: substâncias que formam solução ideal não apresentam separação em duas fases de composições diferentes — portanto, são miscíveis em todas as proporções.
Força amiga: lembra que a chave da prova é escrever a condição de equilíbrio
e usar que, em solução ideal,
. Fazendo isso passo a passo a conclusão cai direitinho.