9.38 A 100^{\circ} \mathrm{C}, as pressões de vapor do hexano e do octano são 1836 e 354 torr, respectivamente. Uma certa mistura líquida desses dois componentes tem uma pressão de vapor de 666 torr a 100^{\circ} \mathrm{C}. Determine as frações molares na mistura líquida e na fase vapor. Admita uma solução ideal.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura líquida binária de hexano e octano a 100^\circ\mathrm{C} e pede duas coisas: as frações molares da mistura na fase líquida e as frações molares da fase vapor em equilíbrio com essa mistura. Os dados fornecidos são:
P_{\text{hexano}}^{*}=1836\\ \text{torr},\qquad P_{\text{octano}}^{*}=354\\ \text{torr},
P_{\text{total\,(mistura)}}=666\\ \text{torr}.
Além disso, o enunciado diz explicitamente que a solução é ideal. Não há nenhuma outra informação (como composição inicial), então devemos determinar as frações molares que satisfazem a pressão total dada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Fração molar na fase líquida: x_i é a fração molar do componente i no líquido. Para uma mistura binária temos x_{\text{hexano}}+x_{\text{octano}}=1.
  • Pressão de vapor do componente puro a T: P_i^* (já dados).
  • Lei de Raoult (para solução ideal): a pressão parcial do componente i sobre a solução é igual à fração molar líquida multiplicada pela pressão de vapor do componente puro:
p_i = x_i\,P_i^*.
Aqui p_i é a pressão parcial (em torr) de i na fase vapor em equilíbrio.
  • Pressão total da mistura é a soma das pressões parciais:
P = p_{\text{hexano}} + p_{\text{octano}} = x_{\text{hexano}}P_{\text{hexano}}^{*} + x_{\text{octano}}P_{\text{octano}}^{*}.
  • Frações molares na fase vapor: y_i = \dfrac{p_i}{P}. Isso vem da definição de fração molar para o gás ideal: a fração molar do componente no vapor é sua fração da pressão total.

Passo 3

Escrevendo as equações para o nosso caso (usar Raoult + soma das frações):
P = x_{\text{hexano}}P_{\text{hexano}}^{*} + x_{\text{octano}}P_{\text{octano}}^{*}, \qquad x_{\text{hexano}} + x_{\text{octano}} = 1.
Para resolver, vamos eliminar x_{\text{octano}} usando x_{\text{octano}}=1-x_{\text{hexano}} e obter uma equação só para x_{\text{hexano}}.

Passo 4

Substituindo x_{\text{octano}}=1-x_{\text{hexano}} na equação da pressão total:
P = x_{\text{hexano}}P_{\text{hexano}}^{*} + (1-x_{\text{hexano}})P_{\text{octano}}^{*}.
Agora isolamos x_{\text{hexano}}. Primeiro expandimos:
P = x_{\text{hexano}}P_{\text{hexano}}^{*} + P_{\text{octano}}^{*} - x_{\text{hexano}}P_{\text{octano}}^{*}.
Agrupando os termos com x_{\text{hexano}}:
P - P_{\text{octano}}^{*} = x_{\text{hexano}}\left(P_{\text{hexano}}^{*}-P_{\text{octano}}^{*}\right).
Portanto a fórmula para x_{\text{hexano}} é
x_{\text{hexano}} = \dfrac{P - P_{\text{octano}}^{*}}{P_{\text{hexano}}^{*}-P_{\text{octano}}^{*}}.
Isto é muito prático na prova: quando você conhece P e os P^*, essa divisão dá diretamente a fração molar do componente mais volátil.

Passo 5

Substituímos os números:
x_{\text{hexano}} = \dfrac{666 - 354}{1836 - 354} = \dfrac{312}{1482}.
Simplificando por 6:
x_{\text{hexano}} = \dfrac{52}{247}\approx 0,2105.
Agora a fração molar do octano no líquido é
x_{\text{octano}} = 1 - x_{\text{hexano}} = 1 - \dfrac{52}{247} = \dfrac{195}{247}\approx 0,7895.
Interpretação rápida: a mistura líquida é pobre em hexano (o componente mais volátil), porque para obter a pressão total relativamente baixa de 666\\ \text{torr} foi necessário um líquido com pouca fração do componente mais volátil.

Passo 6

Agora calculamos as pressões parciais pela Lei de Raoult:
p_{\text{hexano}} = x_{\text{hexano}}P_{\text{hexano}}^{*} = \frac{52}{247}\cdot 1836 = \frac{95472}{247}\\ \text{torr}\approx 386{,}7696\\ \text{torr},
p_{\text{octano}} = x_{\text{octano}}P_{\text{octano}}^{*} = \frac{195}{247}\cdot 354 = \frac{69030}{247}\\ \text{torr}\approx 279{,}2304\\ \text{torr}.
Verificação: p_{\text{hexano}}+p_{\text{octano}}\approx 386{,}7696+279{,}2304=666\\ \text{torr}, que bate com a pressão total dada (boa checagem que você deve fazer na prova).

Passo 7

Frações molares na fase vapor:
y_{\text{hexano}} = \dfrac{p_{\text{hexano}}}{P} = \dfrac{386{,}7696}{666}\approx 0{,}5807,
y_{\text{octano}} = \dfrac{p_{\text{octano}}}{P} = \dfrac{279{,}2304}{666}\approx 0{,}4193.
Interpretação: o vapor está enriquecido em hexano (o mais volátil), por isso y_{\text{hexano}}>x_{\text{hexano}}. Isso é um padrão que sempre aparece em misturas voláteis: a fase vapor é relativamente mais rica no componente mais volátil.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova:
  • Identifique o componente mais volátil (maior P^*): aqui é o hexano. Use a fórmula direta x_{\text{mais volátil}}=(P-P_{\text{menos volátil}}^{*})/(P_{\text{mais}}^{*}-P_{\text{menos}}^{*})áá.
  • Sempre cheque que as pressões parciais somam a pressão total.
  • Calcule y_i como p_i/P e confira que \sum y_i=1.
  • Se der tempo, apresente os valores com 3–4 casas decimais e verifique a consistência física (vapores mais ricos no componente mais volátil).

Resposta

x_{\text{hexano}}=0,2105,\; x_{\text{octano}}=0,7895\n
y_{\text{hexano}}=0,5807,\; y_{\text{octano}}=0,4193

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