9.62 Os pontos de ebulição normal do benzeno e do tolueno são 80,1^{\circ} \mathrm{C} e 110,6^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Ambos os líquidos seguem bem a regra de Trouton. Para uma solução líquida benzeno-tolueno a 120^{\circ} \mathrm{C} com x_{\mathrm{C}, \mathrm{H}}^{\prime}=0,68, calcule a pressão de vapor e x_{\mathrm{C}, \mathrm{J}}^{\mathrm{E}}. Especifique as aproximações feitas. (Os valores experimentais são 2,38 atm e 0,79.)

Passo 1

O enunciado dá uma solução líquida binária benzeno–tolueno à temperatura 120^\circ\mathrm{C} com fração molar no líquido de um dos componentes igual a x'_{\mathrm{C},\mathrm{H}}=0,68. São fornecidos os pontos de ebulição normais:
T_{b,\text{benzeno}}=80,1^\circ\mathrm{C},\qquad T_{b,\text{tolueno}}=110,6^\circ\mathrm{C},
e pede-se (1) a pressão de vapor total da solução a 120^\circ\mathrm{C} e (2) o valor de x_{C,J}^{E} (interpreto como a fração molar do componente C na fase vapor de equilíbrio). O enunciado diz que ambos os líquidos seguem bem a regra de Trouton. Foi dada como referência a dupla de valores experimentais 2,38\\ \text{atm} e 0,79 (pressão total experimental e fração molar na fase vapor, respectivamente). \n\nInformações relevantes extraídas: temperatura de trabalho T=120^\circ\mathrm{C}=393,15\\ \mathrm{K}; os pontos de ebulição normais em Kelvin serão usados; a letra C vou associar ao benzeno e a outra ao tolueno, e x'_{C}=0,68 significa fração molar do benzeno no líquido. Neste problema precisamos: calcular as pressões de vapor saturante dos dois componentes a T (usando Trouton + Clausius–Clapeyron) e aplicar a lei de Raoult para obter p_{\text{total}} e então a composição do vapor por y_C=(x_C p_C^*)/p_{\text{total}}.

Passo 2

Explico a aproximação central (Trouton) e a equação que vou usar. A regra de Trouton diz que a entropia molar de vaporização em torno do ponto de ebulição normal é aproximadamente constante para muitas substâncias não associantes:
\Delta S_{\text{vap}}\approx 88\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
No ponto de ebulição normal T_b vale p^*(T_b)=1\\ \text{atm}. Aproximo a entalpia de vaporização pela relação
\Delta H_{\text{vap}} \approx \Delta S_{\text{vap}}\,T_b.
Para obter a pressão de vapor saturante p^*(T) a T uso a forma integrada da equação de Clausius–Clapeyron assumindo \Delta H_{\text{vap}} constante:
\ln\!\left(\frac{p^*(T)}{p^*(T_b)}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\right).
Como p^*(T_b)=1\\ \text{atm}, isto simplifica para
p^*(T)=\exp\!\left[-\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\Big)\right]\quad(\text{atm}).
Explico cada símbolo: \Delta H_{\text{vap}} é entalpia molar de vaporização (J/mol), R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T e T_b em Kelvin, p^* em atm (porque usamos referência 1 atm em T_b). Essas aproximações são comuns em provas quando se pede estimativa sem tabelas.

Passo 3

Converto temperaturas para Kelvin e calculo \Delta H_{\text{vap}} por Trouton para cada componente.
Temperaturas:
T = 120^\circ\mathrm{C}=393,15\\ \mathrm{K},
T_{b,\text{benzeno}}=80,1^\circ\mathrm{C}=353,25\\ \mathrm{K},
T_{b,\text{tolueno}}=110,6^\circ\mathrm{C}=383,75\\ \mathrm{K}.
Usando \Delta S_{\text{vap}}\approx 88\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\Delta H_{\text{vap,benzeno}} \approx 88\cdot 353,25 = 31086\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
\Delta H_{\text{vap,tolueno}} \approx 88\cdot 383,75 = 33770\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 4

Calculo p^*(T) para o benzeno usando a equação de Clausius–Clapeyron indicada. Primeiro avalio o coeficiente:
\frac{\Delta H_{\text{vap,benzeno}}}{R}=\frac{31086}{8,314}\approx 3738,99.
Calculo a diferença de inversos de temperatura:
\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}=\frac{1}{393,15}-\frac{1}{353,25}=0,00254358-0,00283017=-0,00028659.
Logo o argumento do exponencial é
-\frac{\Delta H}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\Big) = -3738,99\cdot(-0,00028659)=+1,0719.
Portanto
p^*_{\text{benzeno}}(393{,}15\\ \mathrm{K})=\exp(1,0719)\approx 2,92\\ \text{atm}.

Passo 5

Faço o mesmo para o tolueno.
\frac{\Delta H_{\text{vap,tolueno}}}{R}=\frac{33770}{8,314}\approx 4061,88.
Diferença de inversos:
\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}=\frac{1}{393,15}-\frac{1}{383,75}=0,00254358-0,00260660=-0,00006302.
Argumento do exponencial:
-4061,88\cdot(-0,00006302)=+0,2559.
Logo
p^*_{\text{tolueno}}(393{,}15\\ \mathrm{K})=\exp(0,2559)\approx 1,29\\ \text{atm}.

Passo 6

Agora aplico a lei de Raoult (solução ideal) para obter a pressão total. A lei de Raoult diz que a pressão parcial de cada componente é p_i = x_i p_i^*, onde x_i é a fração molar no líquido e p_i^* a pressão de vapor saturante do componente puro a T. Assim:
p_{\text{total}}=x_{\text{benzeno}}\,p^*_{\text{benzeno}}+x_{\text{tolueno}}\,p^*_{\text{tolueno}}.
Dados: x_{\text{benzeno}}=0,68, x_{\text{tolueno}}=1-0,68=0,32. Substituindo os p^* estimados:
p_{\text{total}}=0,68\cdot 2,92 + 0,32\cdot 1,29 = 1,9856 + 0,413 \approx 2,40\\ \text{atm}.

Passo 7

Calculo a fração molar do benzeno na fase vapor em equilíbrio (denotada aqui y_{\text{benzeno}}, que corresponde ao pedido x_{C,J}^{E} conforme a interpretação dada). Para mistura ideal:
y_{\text{benzeno}}=\frac{p_{\text{benzeno}}}{p_{\text{total}}}=\frac{x_{\text{benzeno}}\,p^*_{\text{benzeno}}}{p_{\text{total}}}.
Substituindo:
y_{\text{benzeno}}=\frac{0,68\cdot 2,92}{2,40}=\frac{1,9856}{2,40}\approx 0,828.

Passo 8

Discutindo aproximações feitas (muito importante para a prova):
  • Usei a regra de Trouton ( \Delta S_{\text{vap}}\approx 88\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) para estimar \Delta H_{\text{vap}} a partir de T_b. Isso é uma aproximação que funciona razoavelmente para líquidos não-polares e não-associantes (como benzeno e tolueno).
  • Assumi \Delta H_{\text{vap}} constante entre T_b e T para integrar Clausius–Clapeyron.
  • Assumi que a solução é ideal e portanto a lei de Raoult é válida (isso ignora desvios de idealidade e coeficientes de atividade).
  • Assumi comportamento de gás ideal para relacionar pressões e frações molares na fase vapor.
    Essas aproximações explicam a pequena diferença entre meu resultado e os valores experimentais fornecidos ( 2,40\\ \text{atm} calculado vs 2,38\\ \text{atm} experimental; 0,828 calculado vs 0,79 experimental). A maior fonte de diferença para a composição do vapor provavelmente é o pequeno desvio da idealidade (coeficientes de atividade \gamma\neq1).

Resposta

p_{\text{total}}\approx 2,40\\ \text{atm}
x_{C,J}^{E} (fração molar do benzeno no vapor) \approx 0,828

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