3.47 An air compressor of mass 100 kg is mounted on an elastic foundation. It has been observed that, when a harmonic force of amplitude 100 N is applied to the compressor, the maximum steady-state displacement of 5 mm occurred at a frequency of 300 rpm . Determine the equivalent stiffness and damping constant of the foundation.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas quantidades:
- Massa:
. - Força harmônica de amplitude:
. - Máxima resposta em regime permanente (amplitude):
. - Frequência na qual esse máximo ocorreu:
. Vou converter já: e portanto . - O que se pede: determinar a rigidez equivalente
e a constante de amortecimento da fundação.
Nota rápida: o enunciado afirma que a amplitude máxima foi observada nessa frequência. Isso significa que a frequência dada é a frequência na qual a função amplitude em função de
atinge seu máximo (ou seja, o pico da curva de resposta forçada). Vou usar isso para relacionar amortecimento e frequência natural.
Passo 2
Modelo físico e equação útil (explicando cada coisa de forma simples):
- Consideramos um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a força harmônica
. A equação do movimento é
- Em regime permanente, a resposta tem amplitude (denotada
) dada pela fórmula (esta é uma fórmula padrão que se obtém resolvendo para a resposta estacionária):
onde definimos:
-
é a frequência natural não amortecida (rad/s), -
é o coeficiente de amortecimento adimensional (damping ratio), -
é a razão das frequências (frequência de excitação normalizada).
Explicando em palavras: a resposta é a razão força/rigidez modulada por um fator que depende de quão perto a frequência de excitação está da natural e de quanto amortecimento existe.
Passo 3
Frequência de pico (onde a amplitude é máxima):
- Para um sistema subamortecido (
) a amplitude atinge máximo quando com
Isto é um resultado padrão que vem de derivar
em relação a
e igualar a zero; a derivação dá esse
. (Se
não há pico interior; o enunciado implica que há um pico interior, então teremos
.)
- A frequência de pico em rad/s é então
No problema sabemos
.
Passo 4
Amplitude no pico (fórmula útil que vamos usar):
- Substituindo
em obtemos a amplitude máxima em função de e . Fazendo a substituição e simplificando (passo a passo: para temos ; calcular leva a ; a raiz é ), resulta:
- Também lembraremos que
e que .
Essas duas equações vão permitir eliminar
e
e obter uma equação só em
, que podemos resolver.
Passo 5
Eliminação e montagem da equação para
:
- A partir de
obtemos
- Substitui-se
em :
- Defino uma constante para organizar os números:
Assim
- Reescrevendo:
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e obter um polinômio em
. Fazendo isso (com cuidado de lembrar que fisicamente escolhemos a solução que dá
).
Passo 6
Cálculo numérico intermédio e resolução para
:
- Calculemos constantes numéricas (tudo em unidades SI):
-
. Então
- Assim
- E
Observação simpática: que é numericamente — curiosidade numérica, mas não necessária para a solução. -
- Voltando à equação antes de quadrar:
Coloco
para simplificar:
.
- Elevando ao quadrado:
- Expandindo e recolhendo termos em
dá (após simplificar):
- Agora colocamos os números:
implica e então . - A equação em
é
- Usando a fórmula quadrática:
Com
obtemos
- Lembrando que
e que fisicamente queremos , descartamos (que daria e não permite pico interior). Mantemos
Passo 7
Cálculo de
e
a partir de
:
- Frequência natural:
Com
temos
e portanto
- Rigidez:
Arredondando com sentido prático:
- Amortecimento
pela definição , então
Arredondando:
Passo 8
Checagem rápida (sanity check):
- Se eu recalculo a amplitude no pico usando as fórmulas com esses
e , obtenho um muito próximo de (diferenças residuais por arredondamento), então os valores estão consistentes.