3.47 An air compressor of mass 100 kg is mounted on an elastic foundation. It has been observed that, when a harmonic force of amplitude 100 N is applied to the compressor, the maximum steady-state displacement of 5 mm occurred at a frequency of 300 rpm . Determine the equivalent stiffness and damping constant of the foundation.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas quantidades:
  • Massa: m=100\\ \text{kg}.
  • Força harmônica de amplitude: F_0=100\\ \text{N}.
  • Máxima resposta em regime permanente (amplitude): X_{\max}=5\\ \text{mm} = 0,005\\ \text{m}.
  • Frequência na qual esse máximo ocorreu: 300\\ \text{rpm}. Vou converter já: 300\\ \text{rpm}= \dfrac{300}{60}=5\\ \text{Hz} e portanto \omega_r = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \text{rad/s}.
  • O que se pede: determinar a rigidez equivalente k e a constante de amortecimento c da fundação.
Nota rápida: o enunciado afirma que a amplitude máxima foi observada nessa frequência. Isso significa que a frequência dada é a frequência na qual a função amplitude em função de \omega atinge seu máximo (ou seja, o pico da curva de resposta forçada). Vou usar isso para relacionar amortecimento e frequência natural.

Passo 2

Modelo físico e equação útil (explicando cada coisa de forma simples):
  • Consideramos um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a força harmônica F_0\sin(\omega t). A equação do movimento é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin(\omega t).
  • Em regime permanente, a resposta tem amplitude (denotada X) dada pela fórmula (esta é uma fórmula padrão que se obtém resolvendo para a resposta estacionária):
X(\omega)=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},
onde definimos:
  • \omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}} é a frequência natural não amortecida (rad/s),
  • \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n} é o coeficiente de amortecimento adimensional (damping ratio),
  • r=\dfrac{\omega}{\omega_n} é a razão das frequências (frequência de excitação normalizada).
Explicando em palavras: a resposta é a razão força/rigidez modulada por um fator que depende de quão perto a frequência de excitação está da natural e de quanto amortecimento existe.

Passo 3

Frequência de pico (onde a amplitude é máxima):
  • Para um sistema subamortecido ( \zeta<1/\sqrt{2}) a amplitude X(\omega) atinge máximo quando r=r_r com
r_r=\sqrt{1-2\zeta^2}.
Isto é um resultado padrão que vem de derivar X(\omega) em relação a r e igualar a zero; a derivação dá esse r_r. (Se \zeta\ge 1/\sqrt{2} não há pico interior; o enunciado implica que há um pico interior, então teremos \zeta<1/\sqrt{2}.)
  • A frequência de pico em rad/s é então
\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}.
No problema sabemos \omega_r=10\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Amplitude no pico (fórmula útil que vamos usar):
  • Substituindo r=r_r em X(\omega) obtemos a amplitude máxima em função de k e \zeta. Fazendo a substituição e simplificando (passo a passo: para r^2=1-2\zeta^2 temos 1-r^2=2\zeta^2; calcular (1-r^2)^2+(2\zeta r)^2 leva a 4\zeta^2(1-\zeta^2); a raiz é 2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}), resulta:
X_{\max}=\frac{F_0/k}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
  • Também lembraremos que k=m\omega_n^2 e que \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}.
Essas duas equações vão permitir eliminar \omega_n e k e obter uma equação só em \zeta, que podemos resolver.

Passo 5

Eliminação e montagem da equação para \zeta:
  • A partir de \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} obtemos
\omega_n=\frac{\omega_r}{\sqrt{1-2\zeta^2}} \quad\Rightarrow\quad k=m\omega_n^2=\frac{m\omega_r^2}{1-2\zeta^2}.
  • Substitui-se k em X_{\max}:
X_{\max}=\frac{F_0}{k}\cdot\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} =\frac{F_0(1-2\zeta^2)}{m\omega_r^2}\cdot\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
  • Defino uma constante para organizar os números:
A=\frac{F_0}{m\omega_r^2}.
Assim
X_{\max}=A\cdot\frac{1-2\zeta^2}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
  • Reescrevendo:
2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}\;X_{\max}=A(1-2\zeta^2).
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e obter um polinômio em \zeta^2. Fazendo isso (com cuidado de lembrar que fisicamente escolhemos a solução que dá 0<\zeta<1/\sqrt{2}).

Passo 6

Cálculo numérico intermédio e resolução para \zeta:
  • Calculemos constantes numéricas (tudo em unidades SI):
    • \omega_r=10\pi\\ \text{rad/s}. Então
    m\omega_r^2 = 100\cdot(10\pi)^2 = 100\cdot 100\pi^2 = 10000\pi^2 \approx 986,960{,}44.
    • Assim
    A=\frac{F_0}{m\omega_r^2}=\frac{100}{986960{,}44}\approx 0{,}001013104.
    • E
    \frac{X_{\max}}{A}=\frac{0{,}005}{0{,}001013104}\approx 4{,}9348022.Observação simpática: 2\cdot\frac{X_{\max}}{A}\approx 9{,}8696044 que é numericamente \pi^2 — curiosidade numérica, mas não necessária para a solução.
  • Voltando à equação antes de quadrar:
2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}\; \frac{X_{\max}}{A} = 1-2\zeta^2.
Coloco C=\dfrac{X_{\max}}{A} para simplificar: 2C\zeta\sqrt{1-\zeta^2}=1-2\zeta^2.
  • Elevando ao quadrado:
(2C)^2 \zeta^2(1-\zeta^2)=(1-2\zeta^2)^2.
  • Expandindo e recolhendo termos em y=\zeta^2 dá (após simplificar):
S y^2 - S y + 1 = 0,\qquad\text{com } S=4+(2C)^2.
  • Agora colocamos os números: C\approx 4{,}9348022 implica (2C)^2\approx 97{,}409091 e então S\approx 101{,}409091.
  • A equação em y é
101{,}409091\;y^2 -101{,}409091\;y +1 =0.
  • Usando a fórmula quadrática:
y=\frac{1\pm\sqrt{1-4/S}}{2}.
Com S\approx101{,}409091 obtemos
y_1\approx 0{,}99004\quad\text{e}\quad y_2\approx 0{,}0099585.
  • Lembrando que y=\zeta^2 e que fisicamente queremos \zeta<1/\sqrt{2}\approx0{,}707, descartamos y_1 (que daria \zeta\approx0{,}995 e não permite pico interior). Mantemos
\zeta^2\approx 0{,}0099585\quad\Rightarrow\quad \zeta\approx 0{,}09979\approx 0{,}10.

Passo 7

Cálculo de k e c a partir de \zeta:
  • Frequência natural:
\omega_n=\frac{\omega_r}{\sqrt{1-2\zeta^2}}.
Com \zeta^2\approx 0{,}0099585 temos 1-2\zeta^2\approx 0{,}980083 e portanto
\omega_n \approx \frac{10\pi}{\sqrt{0{,}980083}}\approx 31{,}746\\ \text{rad/s}.
  • Rigidez:
k=m\omega_n^2 \approx 100\cdot(31{,}746)^2 \approx 1,006999\times 10^{5}\\ \text{N/m}.
Arredondando com sentido prático:
k\approx 1,01\times 10^{5}\\ \text{N/m}.
  • Amortecimento c pela definição \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}, então
c=2m\omega_n\zeta \approx 2\cdot 100\cdot 31{,}746\cdot 0{,}09979 \approx 633{,}3\\ \text{N·s/m}.
Arredondando:
c\approx 6,33\times 10^{2}\\ \text{N·s/m}.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check):
  • Se eu recalculo a amplitude no pico usando as fórmulas com esses k e c, obtenho um X_{\max} muito próximo de 0{,}005\\ \text{m} (diferenças residuais por arredondamento), então os valores estão consistentes.

Resposta

k \approx 1,01\times 10^{5}\\ \text{N/m}
c \approx 6,33\times 10^{2}\\ \text{N·s/m}

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