3.36 The equation of motion of a spring-mass-damper system subjected to a harmonic force can be expressed as
\ddot{x}+2 \zeta \omega_{n} \dot{x}+\omega_{n}^{2}=f_{0} \cos \omega t
where f_{0}=\frac{F_{0}}{m}, \omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}, and and \zeta=c /\left(2 m \omega_{n}\right).
i. Find the steady-state response of the system in the form x_{s}(t)=C_{1} \cos \omega t+C_{2} \sin \omega t
ii. Find the total response of the system in the form
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=A \cos \omega_{d} t+B \sin \omega_{d} t+C_{1} \cos \omega t+C_{2} \sin \omega t
Assume the initial conditions of the system as x(t=0)=x_{0} and \dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras e dá informações que vamos usar. Vou listar tudo com calma para não nos perder:
  • Equação de movimento (corrigindo o que parece um pequeno lapso no enunciado, assumimos que o termo com x está presente):
\ddot{x}+2\zeta\omega_{n}\dot{x}+\omega_{n}^{2}x=f_{0}\cos\omega t.
  • Definições dadas no enunciado:
f_{0}=\frac{F_{0}}{m},\qquad \omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}.
  • Condições iniciais:
x(0)=x_{0},\qquad \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar a resposta em regime permanente (solução particular de regime forçado) na forma
    x_{s}(t)=C_{1}\cos\omega t+C_{2}\sin\omega t.
    1. Encontrar a resposta total na forma
    x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=A\cos\omega_{d}t+B\sin\omega_{d}t+C_{1}\cos\omega t+C_{2}\sin\omega t,assumindo as condições iniciais acima.
Observação útil (já que aparece na segunda parte): a frequência amortecida será definida adiante como
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}},
isto é, consideramos o caso subamortecido \zeta<1 (caso mais comum e consistente com a forma pedida para x_{h}).

Passo 2

Explicando a ideia do regime permanente (parte conceitual curta e necessária): quando a entrada for harmônica \cos\omega t, a solução particular forçada de regime permanente é também uma combinação linear de \cos\omega t e \sin\omega t. Por isso propomos a forma
x_{s}(t)=C_{1}\cos\omega t+C_{2}\sin\omega t,
com C_{1} e C_{2} constantes a determinar. Agora vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculemos as derivadas de x_{s}. Lembre-se que toda expressão matemática vai entre ....
  • Primeira derivada:
\dot{x}_{s}(t)=-C_{1}\,\omega\sin\omega t+C_{2}\,\omega\cos\omega t.
  • Segunda derivada:
\ddot{x}_{s}(t)=-C_{1}\,\omega^{2}\cos\omega t-C_{2}\,\omega^{2}\sin\omega t.

Passo 4

Substituímos \ddot{x}_{s}, \dot{x}_{s} e x_{s} na equação diferencial
\ddot{x}+2\zeta\omega_{n}\dot{x}+\omega_{n}^{2}x=f_{0}\cos\omega t.
Fazendo a substituição obtemos (cada termo mostrado separadamente para ficar clarinho):
\begin{aligned} \ddot{x}_{s} &= -C_{1}\omega^{2}\cos\omega t - C_{2}\omega^{2}\sin\omega t,\\\\ 2\zeta\omega_{n}\dot{x}_{s} &= 2\zeta\omega_{n}\big(-C_{1}\omega\sin\omega t + C_{2}\omega\cos\omega t\big),\\\ \omega_{n}^{2}x_{s} &= \omega_{n}^{2}\big(C_{1}\cos\omega t + C_{2}\sin\omega t\big). \end{aligned}
Somando os três termos e igualando a f_{0}\cos\omega t teremos uma identidade em \cos\omega t e \sin\omega t.

Passo 5

Agrupando coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t obtemos o sistema linear para C_{1} e C_{2}:
Coeficiente de \cos\omega t:
-C_{1}\omega^{2} + 2\zeta\omega_{n}C_{2}\omega + \omega_{n}^{2}C_{1} = f_{0}.
Coeficiente de \sin\omega t:
-C_{2}\omega^{2} - 2\zeta\omega_{n}C_{1}\omega + \omega_{n}^{2}C_{2} = 0.
Reescrevendo de forma mais simétrica:
\begin{aligned} C_{1}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) + C_{2}(2\zeta\omega_{n}\omega) &= f_{0},\\\\ -C_{1}(2\zeta\omega_{n}\omega) + C_{2}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) &= 0. \end{aligned}

Passo 6

Vamos resolver o sistema linear. Da segunda equação isolamos C_{2} em função de C_{1}:
C_{2} = C_{1}\,\frac{2\zeta\omega_{n}\omega}{\omega_{n}^{2}-\omega^{2}}.
Substituímos essa expressão na primeira equação. Fazendo isso com cuidado:
A primeira equação multiplicada por (\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) fica
C_{1}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + C_{2}(2\zeta\omega_{n}\omega)(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) = f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}).
Agora substituímos C_{2}:
C_{1}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + C_{1}\frac{(2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}{\omega_{n}^{2}-\omega^{2}}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) = f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}).
O fator (\omega_{n}^{2}-\omega^{2}) no segundo termo cancela, resultando em:
C_{1}\Big[(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}\Big] = f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}).

Passo 7

Portanto obtemos a expressão para C_{1}:
C_{1} = \frac{f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}.
E substituindo de novo na expressão para C_{2} obtemos:
C_{2} = \frac{f_{0}(2\zeta\omega_{n}\omega)}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}.
Essas são as constantes da solução em regime permanente x_{s}(t). Como comentário prático: o denominador comum
(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}
é sempre positivo e representa a soma de quadrados que controla a amplitude da resposta forçada.

Passo 8

Agora vamos para a solução homogênea x_{h}(t). Primeiro a equação homogênea associada é
\ddot{x}+2\zeta\omega_{n}\dot{x}+\omega_{n}^{2}x=0.
A equação característica é
r^{2}+2\zeta\omega_{n}r+\omega_{n}^{2}=0,
cujas raízes são
r=-\zeta\omega_{n}\pm\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}.
No caso subamortecido \zeta<1 as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
r=-\zeta\omega_{n}\pm i\omega_{d},
onde definimos
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.

Passo 9

Da forma padrão para soluções com raízes complexas conjugadas, a solução homogênea subamortecida é
x_{h}(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(A\cos\omega_{d}t + B\sin\omega_{d}t\big),
onde A e B são constantes a determinar a partir das condições iniciais. (Observação: o fator exponencial \,e^{-\zeta\omega_{n}t}\, representa o amortecimento que faz a resposta transitória decair com o tempo.)

Passo 10

A solução particular que já encontramos em Passo 7 é
x_{p}(t)=x_{s}(t)=C_{1}\cos\omega t + C_{2}\sin\omega t,
com C_{1} e C_{2} dados explicitamente naquela fórmula. Portanto a solução total é
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(A\cos\omega_{d}t + B\sin\omega_{d}t\big) + C_{1}\cos\omega t + C_{2}\sin\omega t.

Passo 11

Agora precisamos aplicar as condições iniciais \,x(0)=x_{0}\, e \,\dot{x}(0)=\dot{x}_{0}\, para determinar A e B em termos de x_{0},\dot{x}_{0},C_{1},C_{2}.
  • Avaliando x(0):
x(0)=e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big) + C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = A + C_{1}.
Logo
A = x_{0}-C_{1}.

Passo 12

  • Agora calculemos \dot{x}(t) e avaliemos em t=0. Primeiro derivamos a parte homogênea cuidadosamente:
\dot{x}_{h}(t) = -\zeta\omega_{n}e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(A\cos\omega_{d}t + B\sin\omega_{d}t\big) + e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(-A\omega_{d}\sin\omega_{d}t + B\omega_{d}\cos\omega_{d}t\big).
A parte particular derivada é
\dot{x}_{p}(t) = -C_{1}\omega\sin\omega t + C_{2}\omega\cos\omega t.
Avaliando em t=0:
\dot{x}_{h}(0) = -\zeta\omega_{n}A + B\omega_{d},\qquad \dot{x}_{p}(0)=C_{2}\omega.
Somando e igualando a \dot{x}_{0} obtemos
\dot{x}_{0} = -\zeta\omega_{n}A + B\omega_{d} + C_{2}\omega.

Passo 13

Isolando B da equação anterior:
B = \frac{\dot{x}_{0} - C_{2}\omega + \zeta\omega_{n}A}{\omega_{d}}.
Substituímos A = x_{0}-C_{1} (do Passo 11) para éliminalo:
B = \frac{\dot{x}_{0} - C_{2}\omega + \zeta\omega_{n}\big(x_{0}-C_{1}\big)}{\omega_{d}}.

Passo 14

Recapitulando tudo que precisamos para escrever a resposta final:
  • C_{1} e C_{2} (solução em regime permanente):
C_{1} = \frac{f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}, \qquad C_{2} = \frac{f_{0}(2\zeta\omega_{n}\omega)}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}.
  • Frequência amortecida:
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
  • Constantes da solução homogênea fixadas pelas condições iniciais:
A = x_{0}-C_{1}, \qquad B = \frac{\dot{x}_{0} - C_{2}\omega + \zeta\omega_{n}\big(x_{0}-C_{1}\big)}{\omega_{d}}.
  • Solução total:
x(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(A\cos\omega_{d}t + B\sin\omega_{d}t\big) + C_{1}\cos\omega t + C_{2}\sin\omega t,
com A,B,C_{1},C_{2} dados explicitamente acima.

Resposta

x_{s}(t)=C_{1}\cos\omega t+C_{2}\sin\omega t com
C_{1}=\frac{f_{0}(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}, \qquad C_{2}=\frac{f_{0}(2\zeta\omega_{n}\omega)}{(\omega_{n}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2\zeta\omega_{n}\omega)^{2}}.
x(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\big(A\cos\omega_{d}t+B\sin\omega_{d}t\big)+C_{1}\cos\omega t+C_{2}\sin\omega t com
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}},\qquad A=x_{0}-C_{1},
B=\frac{\dot{x}_{0}-C_{2}\omega+\zeta\omega_{n}(x_{0}-C_{1})}{\omega_{d}}.

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