3.36 The equation of motion of a spring-mass-damper system subjected to a harmonic force can be expressed as
where
, and and
.
i. Find the steady-state response of the system in the form
ii. Find the total response of the system in the form
Assume the initial conditions of the system as
and
.
i. Find the steady-state response of the system in the form
ii. Find the total response of the system in the form
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras e dá informações que vamos usar. Vou listar tudo com calma para não nos perder:
- Equação de movimento (corrigindo o que parece um pequeno lapso no enunciado, assumimos que o termo com
está presente):
- Definições dadas no enunciado:
- Condições iniciais:
- Pedidos:
- Encontrar a resposta em regime permanente (solução particular de regime forçado) na forma
- Encontrar a resposta total na forma
assumindo as condições iniciais acima.
Observação útil (já que aparece na segunda parte): a frequência amortecida será definida adiante como
isto é, consideramos o caso subamortecido
(caso mais comum e consistente com a forma pedida para
).
Passo 2
Explicando a ideia do regime permanente (parte conceitual curta e necessária): quando a entrada for harmônica
, a solução particular forçada de regime permanente é também uma combinação linear de
e
. Por isso propomos a forma
com
e
constantes a determinar. Agora vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
. Lembre-se que toda expressão matemática vai entre
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial
Fazendo a substituição obtemos (cada termo mostrado separadamente para ficar clarinho):
Somando os três termos e igualando a
teremos uma identidade em
e
.
Passo 5
Agrupando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Reescrevendo de forma mais simétrica:
Passo 6
Vamos resolver o sistema linear. Da segunda equação isolamos
em função de
:
Substituímos essa expressão na primeira equação. Fazendo isso com cuidado:
A primeira equação multiplicada por
fica
Agora substituímos
:
O fator
no segundo termo cancela, resultando em:
Passo 7
Portanto obtemos a expressão para
:
E substituindo de novo na expressão para
obtemos:
Essas são as constantes da solução em regime permanente
. Como comentário prático: o denominador comum
é sempre positivo e representa a soma de quadrados que controla a amplitude da resposta forçada.
Passo 8
Agora vamos para a solução homogênea
. Primeiro a equação homogênea associada é
A equação característica é
cujas raízes são
No caso subamortecido
as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
onde definimos
Passo 9
Da forma padrão para soluções com raízes complexas conjugadas, a solução homogênea subamortecida é
onde
e
são constantes a determinar a partir das condições iniciais. (Observação: o fator exponencial
representa o amortecimento que faz a resposta transitória decair com o tempo.)
Passo 10
A solução particular que já encontramos em Passo 7 é
com
e
dados explicitamente naquela fórmula. Portanto a solução total é
Passo 11
Agora precisamos aplicar as condições iniciais
e
para determinar
e
em termos de
.
- Avaliando
:
Logo
Passo 12
- Agora calculemos
e avaliemos em . Primeiro derivamos a parte homogênea cuidadosamente:
A parte particular derivada é
Avaliando em
:
Somando e igualando a
obtemos
Passo 13
Isolando
da equação anterior:
Substituímos
(do Passo 11) para éliminalo:
Passo 14
Recapitulando tudo que precisamos para escrever a resposta final:
-
e (solução em regime permanente):
- Frequência amortecida:
- Constantes da solução homogênea fixadas pelas condições iniciais:
- Solução total:
com
dados explicitamente acima.