3.71 An electric motor weighing 750 lb and running at 1800 rpm is supported on four steel helical springs, each having eight active coils with a wire diameter of 0.25 in. and a coil diameter of 3 in . The rotor has a weight of 100 lb with its center of mass located at a distance of 0.01 in . from the axis of rotation. Find the amplitude of vibration of the motor and the force transmitted through the springs to the base.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a amplitude de vibração (deslocamento máximo) do motor e a força transmitida pelas molas à base, sabendo que o motor pesa 750\\ \text{lb}, gira a 1800\\ \text{rpm} e que o rotor pesa 100\\ \text{lb} com centro de massa deslocado 0,01\\ \text{in.} do eixo. As molas são quatro em paralelo; cada mola tem n=8 espiras ativas, diâmetro do fio d=0,25\\ \text{in.} e diâmetro da espira D=3\\ \text{in.}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Peso total do motor: } W=750\\ \text{lb}\\\ &\text{Peso do rotor (desbalanceado): } W_r=100\\ \text{lb}\\\ &\text{excentricidade do rotor: } e=0{,}01\\ \text{in.}\\\ &\text{velocidade de rotação: } 1800\\ \text{rpm}\\\ &\text{molas: } n=8,\\ d=0{,}25\\ \text{in.},\\ D=3\\ \text{in.},\\ \text{quatro em paralelo.} \end{aligned}çã
Observação: vou precisar do módulo de rigidez do aço G. Vou usar G=11{,}5\times10^{6}\\ \text{psi} (valor típico para aço), e também a gravidade g=32{,}174\\ \text{ft/s}^2 para converter pesos em massa (slugs). A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular a rigidez de uma mola helicoidal (uma mola de compressão) usando a fórmula conhecida:
k=\frac{G d^{4}}{8 n D^{3}}
onde
  • k é a rigidez de uma mola em \text{lb/in},
  • G é o módulo de rigidez ( \text{lb/in}^2),
  • d é o diâmetro do fio (in),
  • n é o número de espiras ativas,
  • D é o diâmetro médio da espira (in).
Substituindo os valores (tudo em polegadas e psi):
\begin{aligned} d^{4} &= (0{,}25)^{4}=0{,}00390625,\\[4pt] D^{3} &= 3^{3}=27,\\[4pt] k &= \frac{11{,}5\times10^{6}\cdot 0{,}00390625}{8\cdot 8\cdot 27}. \end{aligned}
Calculemos:
k \approx \frac{44\,921{,}875}{1\,728}\approx 25{,}99\\ \text{lb/in}
Logo, cada mola tem rigidez \displaystyle k\approx 25{,}99\\ \text{lb/in}.]

Passo 3

Como há quatro molas em paralelo, a rigidez equivalente do conjunto é a soma:
K_{\text{tot}} = 4k = 4\cdot 25{,}99 \approx 103{,}96\\ \text{lb/in}.
Para usar massas em slugs (onde g está em \text{ft/s}^2) é conveniente converter K_{\text{tot}} para \text{lb/ft}:
K_{\text{tot,ft}} = K_{\text{tot}}\times 12 = 103{,}96\cdot 12 \approx 1\,247{,}52\\ \text{lb/ft}.

Passo 4

Converter pesos em massas (slugs):
\begin{aligned} m &= \frac{W}{g}=\frac{750\\ \text{lb}}{32{,}174\\ \text{ft/s}^2}\approx 23{,}310\\ \text{slugs},\\[4pt] m_r &= \frac{W_r}{g}=\frac{100\\ \text{lb}}{32{,}174\\ \text{ft/s}^2}\approx 3{,}107\\ \text{slugs}. \end{aligned}
Também converter a excentricidade para pés (pois usaremos pés nas forças):
e_{\text{ft}}=\frac{0{,}01\\ \text{in.}}{12} \approx 0{,}000833333\\ \text{ft}.]

Passo 5

Converter a velocidade de rotação para velocidade angular em rad/s:
\omega = 2\pi\cdot\frac{1800}{60}=2\pi\cdot 30 = 60\pi\\ \text{rad/s}\approx 188{,}4956\\ \text{rad/s}.
E o quadrado:
\omega^{2}=(60\pi)^{2}=3{,}600\pi^{2}\approx 35\,530{,}096\\ \text{(rad}^2/\text{s}^2\text{)}.

Passo 6

Força excitadora (força do desbalanceamento) - a intensidade máxima da força centrífuga causada pelo rotor desbalanceado é
F_{0}=m_r\,e_{\text{ft}}\,\omega^{2},
onde m_r é a massa do rotor (slugs), e_{\text{ft}} é a excentricidade em pés e \omega em rad/s. Substituindo:
F_{0}\approx 3{,}107\cdot 0{,}000833333\cdot 35\,530{,}096 \approx 91{,}95\\ \text{lb}.
Portanto a força harmônica aplicada ao conjunto tem amplitude \displaystyle F_{0}\approx 91{,}95\\ \text{lb}.

Passo 7

Equação de equilíbrio no regime permanente (modelo sem amortecimento, grau de liberdade vertical):
m\,\ddot{x}+K_{\text{tot,ft}}\,x = F_{0}\sin(\omega t).
A amplitude estacionária (máxima) para uma força harmônica num sistema linear sem amortecimento é
X = \frac{F_{0}}{\bigl|K_{\text{tot,ft}}-m\,\omega^{2}\bigr|}.
Comentário físico rápido: quando a frequência de excitação for muito maior que a frequência natural ( m\omega^{2}\gg K), a amplitude tende a \dfrac{F_0}{m\omega^{2}}=\dfrac{m_r e}{m} (o sistema segue pouco o deslocamento do rotor).

Passo 8

Calcular o denominador e a amplitude em pés:
\begin{aligned} m\,\omega^{2} &\approx 23{,}310\cdot 35\,530{,}096 \approx 828\,025{,}4\\ \text{lb/ft},\\[4pt] K_{\text{tot,ft}}-m\,\omega^{2} &\approx 1\,247{,}52 - 828\,025{,}4 \approx -826\,777{,}9\\ \text{lb/ft}. \end{aligned}
Tomando o valor absoluto e calculando X:
X_{\text{ft}} \approx \frac{91{,}95}{826\,777{,}9}\approx 0{,}000111216\\ \text{ft}.
Converter para polegadas:
X_{\text{in}} = X_{\text{ft}}\times 12 \approx 0{,}0013346\\ \text{in.}
Portanto a amplitude de vibração do motor é aproximadamente \,0{,}00133\\ \text{in.}.]

Passo 9

Força transmitida à base (componente dinâmica) é a rigidez total vezes o deslocamento dinâmico:
F_{\text{trans, dyn}} = K_{\text{tot,ft}}\cdot X_{\text{ft}}.
Calculando:
F_{\text{trans, dyn}}\approx 1\,247{,}52\cdot 0{,}000111216 \approx 0{,}1386\\ \text{lb}.
Observação importante: além dessa força dinâmica pequena, a base suporta também o peso estático do motor 750\\ \text{lb} (repartido pelas quatro molas). A força calculada acima é somente a amplitude da componente oscilatória transmitida à base devido ao desbalanceamento.

Passo 10

Resumo numérico dos resultados (valores arredondados de forma prática):
  • Amplitude de vibração do motor: \displaystyle X\approx 0{,}00133\\ \text{in.}.
  • Força dinâmica (amplitude) transmitida à base pelas molas: \displaystyle F_{\text{trans,dyn}}\approx 0{,}139\\ \text{lb}.

Resposta

\displaystyle X\approx 0{,}00133\\ \text{in.}
\displaystyle F_{\text{trans,dyn}}\approx 0{,}139\\ \text{lb}

Exercícios relacionados