3.71 An electric motor weighing 750 lb and running at 1800 rpm is supported on four steel helical springs, each having eight active coils with a wire diameter of 0.25 in. and a coil diameter of 3 in . The rotor has a weight of 100 lb with its center of mass located at a distance of 0.01 in . from the axis of rotation. Find the amplitude of vibration of the motor and the force transmitted through the springs to the base.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a amplitude de vibração (deslocamento máximo) do motor e a força transmitida pelas molas à base, sabendo que o motor pesa 750\\ \text{lb}, gira a 1800\\ \text{rpm} e que o rotor pesa 100\\ \text{lb} com centro de massa deslocado 0,01\\ \text{in.} do eixo. As molas são quatro em paralelo; cada mola tem n=8 espiras ativas, diâmetro do fio d=0,25\\ \text{in.} e diâmetro da espira D=3\\ \text{in.}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Peso total do motor: } W=750\\ \text{lb}\\\ &\text{Peso do rotor (desbalanceado): } W_r=100\\ \text{lb}\\\ &\text{excentricidade do rotor: } e=0{,}01\\ \text{in.}\\\ &\text{velocidade de rotação: } 1800\\ \text{rpm}\\\ &\text{molas: } n=8,\\ d=0{,}25\\ \text{in.},\\ D=3\\ \text{in.},\\ \text{quatro em paralelo.} \end{aligned}
Observação: vou precisar do módulo de rigidez do aço G. Vou usar G=11{,}5\times10^{6}\\ \text{psi} (valor típico para aço), e também a gravidade g=32{,}174\\ \text{ft/s}^2 para converter pesos em massa (slugs). A resolução começa agora.
Passo 2
Calcular a rigidez de uma mola helicoidal (uma mola de compressão) usando a fórmula conhecida:
k=\frac{G d^{4}}{8 n D^{3}}
onde
k é a rigidez de uma mola em \text{lb/in},
G é o módulo de rigidez (\text{lb/in}^2),
d é o diâmetro do fio (in),
n é o número de espiras ativas,
D é o diâmetro médio da espira (in).
Substituindo os valores (tudo em polegadas e psi):
A amplitude estacionária (máxima) para uma força harmônica num sistema linear sem amortecimento é
X = \frac{F_{0}}{\bigl|K_{\text{tot,ft}}-m\,\omega^{2}\bigr|}.
Comentário físico rápido: quando a frequência de excitação for muito maior que a frequência natural (m\omega^{2}\gg K), a amplitude tende a \dfrac{F_0}{m\omega^{2}}=\dfrac{m_r e}{m} (o sistema segue pouco o deslocamento do rotor).
Observação importante: além dessa força dinâmica pequena, a base suporta também o peso estático do motor 750\\ \text{lb} (repartido pelas quatro molas). A força calculada acima é somente a amplitude da componente oscilatória transmitida à base devido ao desbalanceamento.
Passo 10
Resumo numérico dos resultados (valores arredondados de forma prática):
Amplitude de vibração do motor: \displaystyle X\approx 0{,}00133\\ \text{in.}.
Força dinâmica (amplitude) transmitida à base pelas molas: \displaystyle F_{\text{trans,dyn}}\approx 0{,}139\\ \text{lb}.