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Considere um forno industrial construído com uma parede de espessura de 30 cm , cujo material tem condutividade térmica de 1,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Durante a operação, em regime permanente, medidas efetuadas revelam temperaturas de 1500 K na parede interna e 1200 K , na externa. A taxa de calor perdida em uma parede com dimensões de 1,0 \times 3,0 \mathrm{~m}, \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{s}, é:
(A) 4250
(B) 4900
(C) 5100
(D) 6000
(E) 7200

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Espessura da parede: 30\\ \text{cm}.
  • Condutividade térmica do material: 1,7\\ \text{W}/\text{m}\,^\circ\text{C}.
  • Temperatura na face interna: 1500\\ \text{K}.
  • Temperatura na face externa: 1200\\ \text{K}.
  • Dimensões da parede: 1,0\\ \text{m}\times 3,0\\ \text{m}.
  • Pergunta: qual a taxa de calor perdida pela parede, em \text{J}/\text{s} (ou \text{W})? O enunciado dá alternativas (A) a (E).

Passo 2

Qual método usar: como o problema fala de regime permanente e temperaturas nas faces de uma parede, usa-se a lei da condução de Fourier em regime estacionário unidimensional para uma parede plana homogênea. A forma prática dessa lei é a fórmula da resistência térmica de condução para uma placa plana:
\dot{Q}=\frac{k\,A\,(T_{\text{in}}-T_{\text{out}})}{L},
onde cada símbolo representa:
  • \dot{Q}: taxa de calor (potência) atravessando a parede, em \text{W}=\text{J}/\text{s}.
  • k: condutividade térmica do material, em \text{W}/(\text{m}\,^\circ\text{C}).
  • A: área da parede pela qual o calor passa, em \text{m}^2.
  • T_{\text{in}} e T_{\text{out}}: temperaturas nas faces interna e externa, em \text{K} ou ^\circ\text{C} (diferenças são equivalentes).
  • L: espessura da parede, em \text{m}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Converter unidades e calcular áreas (tudo mostrado detalhadamente):
  • Espessura: 30\\ \text{cm} = 0,30\\ \text{m}. Então L=0,30\\ \text{m}.
  • Área da parede: A = 1,0\\ \text{m}\times 3,0\\ \text{m} = 3,0\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura. Atenção: diferenças em \text{K} e em ^\circ\text{C} são numericamente iguais, então podemos usar:
\Delta T = T_{\text{in}}-T_{\text{out}} = 1500\\ \text{K} - 1200\\ \text{K} = 300\\ \text{K}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula de Fourier e fazer as contas passo a passo:
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{L}.
Colocando os números (todos dentro de notação matemática):
\dot{Q}=\frac{\,\left(1,7\\ \dfrac{\text{W}}{\text{m}\,^\circ\text{C}}\right)\times\left(3,0\\ \text{m}^2\right)\times\left(300\\ \text{K}\right)\,}{0,30\\ \text{m}}.

Passo 6

Efetuar as operações em partes para não se perder:
  • Primeiro multiplicar k por A:
1,7\times 3,0 = 5,1\quad\text{(unidade: }\text{W}/(\text{m}\,^\circ\text{C})\times\text{m}^2=\text{W}\cdot\text{m}/^\circ\text{C}\text{)}.
  • Multiplicar pelo \Delta T:
5,1\times 300 = 1530\quad\text{(unidade: W}\cdot\text{m}/^\circ\text{C}\times\text{K}=\text{W}\cdot\text{m}\text{)}.
  • Dividir pela espessura L=0,30\\ \text{m}:
\dot{Q}=\frac{1530}{0,30}=5100\\ \text{W}.

Passo 7

Interpretando o resultado: 1\\ \text{W}=1\\ \text{J}/\text{s}, então a taxa de calor perdida é 5100\\ \text{J}/\text{s}. Comparando com as alternativas do enunciado, isto corresponde à alternativa (C).

Resposta

5100\\ \text{J}/\text{s} (C)

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