Está em curso um estudo para a implantaçåo de uma usina hidrelétrica de represamento no rio Macaé. O projeto contempla a construção de uma barragem com 200 metros de altura em relação ao rível do canal de fuga, com vazăo de projeto de
. A condução da água até a turbina será realizada por meio de uma tubulação de ferro fundido com 180 metros de comprimento e 3000 mm de diâmetro. No trajeto da adução, há uma válvula instalada, a qual permanece completamente aberta durante a operação em regime nominal, cujo coeficiente de perda de carga, determinado experimentalmente, é igual a 0.8. A turbina selecionada para o sistema é do tipo Francis, apresentando um coeficiente de perda localizado na entrada igual a 1.2. O tubo de suçāo possui diâmetro de entrada de 3000 mm e de saída de 8000 mm . A perda de carga no tubo de sucção é dada por:
onde
1.1. Diante desse cenário, solicita-se determinar a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador, desconsiderando perdas mecânicas nos eixos, bem como calcular a eficiência hidráulica da turbina.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) e o que nos pedem.
Dados do enunciado:
- Altura da barragem (carga geométrica bruta):
. - Vazão de projeto:
. - Tubulação adutora em ferro fundido:
- comprimento:
. - diâmetro:
.
- comprimento:
- Válvula no adutor com coeficiente de perda localizado:
. - Coeficiente de perda localizado na entrada da turbina:
. - Tubo de sucção:
- diâmetro de entrada:
. - diâmetro de saída:
.
- diâmetro de entrada:
- Perda de carga no tubo de sucção dada por
onde . Aqui e são velocidades em seções indicadas (ver passo 2 para definição usada). - Rugosidade absoluta (informada no enunciado como
Pos): assumirei que isso corresponde à rugosidade absoluta . - Constantes físicas que usarei (valores típicos, explícitos para a prova):
- massa específica da água:
. - aceleração da gravidade:
. - viscosidade cinemática da água (à temperatura ambiente):
.
- massa específica da água:
O que se pede:
- Determinar a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador (desconsiderando perdas mecânicas nos eixos).
- Calcular a eficiência hidráulica da turbina.
Observação: vou interpretar que a “potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador” é a potência hidráulica convertida em potência mecânica no eixo da turbina (já considerando todas as perdas hidráulicas no sistema, exceto perdas mecânicas no eixo, que são desprezadas). A eficiência hidráulica pedida será tomada como a razão entre essa potência efetiva e a potência hidráulica disponível bruta associada à carga
.
Passo 2
Calcular a velocidade no conduto adutor (diâmetro
) — passo fundamental porque muitas perdas dependem de
.
Fórmula para velocidade média em um conduto:
onde
é a área da seção transversal do tubo:
Cálculo:
Valor numérico (aprox.):
Explicação curta: a velocidade é a vazão dividida pela área; como o tubo é grosso,
não fica gigantesca, mas é suficientemente alta para tornar o escoamento totalmente turbulento (ver passos seguintes).
Passo 3
Determinar as velocidades nas duas seções do tubo de sucção para usar na fórmula
.
Seção de entrada do tubo de sucção (diâmetro
): a velocidade é a mesma do adutor que acabamos de calcular:
Seção de saída do tubo de sucção (diâmetro
):
Observação: aqui vou identificar, para a fórmula dada,
como a velocidade na seção de menor diâmetro (maior velocidade) e
como a velocidade na seção de maior diâmetro (menor velocidade). Assim
e
. Isso torna
, compatível com a perda de carga positiva informada.
Passo 4
Calcular a perda de carga no tubo de sucção usando a fórmula fornecida.
Fórmula dada:
Substituindo
,
,
,
:
Calcule
:
Agora
Finalmente
Interpretação: essa é a perda de carga associada à expansão/sucção modelada pelo coeficiente
.
Passo 5
Calcular as perdas localizadas (válvula e entrada de turbina), que usam a expressão clássica
onde
é a velocidade na seção onde a perda ocorre (aqui usamos a velocidade do adutor,
).
Primeiro calcule o termo dinâmico comum:
Perda na válvula:
Perda localizada na entrada da turbina (coeficiente
):
Explicação: as perdas localizadas são proporcionais ao quadrado da velocidade porque elas representam transformações de energia cinética em calor/turbulência em pontos concentrados.
Passo 6
Calcular a perda por atrito maior na tubulação (perda de carga distribuída) usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito de Darcy que depende da rugosidade relativa
e do número de Reynolds
.
Passo 6.1 — determinar o número de Reynolds:
Esse valor é muito alto, indicando escoamento totalmente turbulento.
Passo 6.2 — usar uma fórmula explícita para
. Vou usar a fórmula de Swamee–Jain (explícita, adequada para escoamento turbulento em tubos):
Explicando variáveis:
é a rugosidade absoluta,
o diâmetro,
o número de Reynolds.
Substituindo
,
,
:
Assim o argumento do log10 é aproximadamente
. Então
Comentário: o fator de atrito
é um valor típico para tubos relativamente rugosos e grande Reynolds em diâmetros grandes.
Passo 6.3 — calcular
:
Recordando ,
:
Recordando
Calcule o produto:
Interpretação: essa é a perda de carga por atrito ao longo dos
do adutor.
Passo 7
Somar todas as perdas hidráulicas ao longo do trajeto para obter a perda total de carga entre reservatório (superior) e o nível do eixo do gerador/turbina (ou até o nível do canal de fuga, conforme o H bruto dado).
Listando perdas (em metros):
- perda por atrito no adutor:
(Passo 6). - perda na válvula:
(Passo 5). - perda localizada na entrada da turbina:
(Passo 5). - perda no tubo de sucção:
(Passo 4).
Somatório:
Comentário: essas perdas são relativamente pequenas comparadas ao H bruto de
, mas somam cerca de
.
Passo 8
Calcular a carga líquida efetiva disponível para conversão pela turbina (carga líquida ou carga útil após perdas hidráulicas):
Substituindo:
Explicação: essa é a altura efetiva que ainda pode ser convertida em potência mecânica pela turbina (descontadas todas as perdas hidráulicas consideradas).
Passo 9
Calcular a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador (assumindo que não há perdas mecânicas nos eixos). Fórmula da potência hidráulica:
Substituindo
,
,
,
:
Calcule
:
Em unidades práticas:
Arredondando de forma usual:
Comentário: esse é o valor da potência hidráulica convertida em eixo útil (que chega ao gerador) supondo-se nulas as perdas mecânicas no eixo.
Passo 10
Calcular a eficiência hidráulica da turbina. Usarei a definição prática:
Isto é, é a fração da carga bruta
que finalmente é convertida em potência útil após perdas hidráulicas.
Substituindo:
Convertendo em porcentagem:
Interpretação: cerca de
da energia potencial teórica pela queda de
é transformada em potência útil no eixo (o restante foi perdido por atrito, válvula, entrada da turbina e sucção).
Resposta
Potência hidráulica entregue ao gerador:
Eficiência hidráulica da turbina: