Está em curso um estudo para a implantaçåo de uma usina hidrelétrica de represamento no rio Macaé. O projeto contempla a construção de uma barragem com 200 metros de altura em relação ao rível do canal de fuga, com vazăo de projeto de 50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A condução da água até a turbina será realizada por meio de uma tubulação de ferro fundido com 180 metros de comprimento e 3000 mm de diâmetro. No trajeto da adução, há uma válvula instalada, a qual permanece completamente aberta durante a operação em regime nominal, cujo coeficiente de perda de carga, determinado experimentalmente, é igual a 0.8. A turbina selecionada para o sistema é do tipo Francis, apresentando um coeficiente de perda localizado na entrada igual a 1.2. O tubo de suçāo possui diâmetro de entrada de 3000 mm e de saída de 8000 mm . A perda de carga no tubo de sucção é dada por:
j_{s}=K_{S}\left(\frac{v_{f}^{2}-v_{s}^{2}}{2 g}\right),
onde K_{S}= 1.1. Diante desse cenário, solicita-se determinar a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador, desconsiderando perdas mecânicas nos eixos, bem como calcular a eficiência hidráulica da turbina.
M=1 \times 10^{-3} \text { Pos }

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) e o que nos pedem.
Dados do enunciado:
  • Altura da barragem (carga geométrica bruta): H=200\\ \mathrm{m}.
  • Vazão de projeto: Q=50\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Tubulação adutora em ferro fundido:
    • comprimento: L=180\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro: D=3000\\ \mathrm{mm}=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Válvula no adutor com coeficiente de perda localizado: \zeta_{\text{válvula}}=0{,}8á.
  • Coeficiente de perda localizado na entrada da turbina: \zeta_{\text{turbina}}=1{,}2.
  • Tubo de sucção:
    • diâmetro de entrada: D_{\text{entrada}}=3000\\ \mathrm{mm}=3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro de saída: D_{\text{saída}}=8000\\ \mathrm{mm}=8{,}0\\ \mathrm{m}í.
  • Perda de carga no tubo de sucção dada por j_{s}=K_{S}\left(\frac{v_{f}^{2}-v_{s}^{2}}{2g}\right),onde K_{S}=1{,}1. Aqui v_{f} e v_{s} são velocidades em seções indicadas (ver passo 2 para definição usada).
  • Rugosidade absoluta (informada no enunciado como M=1\times10^{-3} Pos): assumirei que isso corresponde à rugosidade absoluta \varepsilon=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Constantes físicas que usarei (valores típicos, explícitos para a prova):
    • massa específica da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • viscosidade cinemática da água (à temperatura ambiente): \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que se pede:
  1. Determinar a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador (desconsiderando perdas mecânicas nos eixos).
  2. Calcular a eficiência hidráulica da turbina.
Observação: vou interpretar que a “potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador” é a potência hidráulica convertida em potência mecânica no eixo da turbina (já considerando todas as perdas hidráulicas no sistema, exceto perdas mecânicas no eixo, que são desprezadas). A eficiência hidráulica pedida será tomada como a razão entre essa potência efetiva e a potência hidráulica disponível bruta associada à carga H=200\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a velocidade no conduto adutor (diâmetro D=3{,}0\\ \mathrm{m}) — passo fundamental porque muitas perdas dependem de v^{2}/(2g).
Fórmula para velocidade média em um conduto:
v=\frac{Q}{A},
onde A é a área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Cálculo:
A=\frac{\pi (3{,}0)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 9}{4}=\frac{9\pi}{4}\\ \mathrm{m^{2}}.
v=\frac{50}{\dfrac{9\pi}{4}}=\frac{50\cdot 4}{9\pi}=\frac{200}{9\pi}\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico (aprox.):
v\approx7{,}07\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a velocidade é a vazão dividida pela área; como o tubo é grosso, v não fica gigantesca, mas é suficientemente alta para tornar o escoamento totalmente turbulento (ver passos seguintes).

Passo 3

Determinar as velocidades nas duas seções do tubo de sucção para usar na fórmula j_{s}.
Seção de entrada do tubo de sucção (diâmetro D_{\text{entrada}}=3{,}0\\ \mathrm{m}): a velocidade é a mesma do adutor que acabamos de calcular:
v_{\text{entrada}}=v\approx7{,}07\\ \mathrm{m/s}.
Seção de saída do tubo de sucção (diâmetro D_{\text{saída}}=8{,}0\\ \mathrm{m}í):
A_{\text{saída}}=\frac{\pi (8{,}0)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 64}{4}=16\pi\\ \mathrm{m^{2}}.í
v_{\text{saída}}=\frac{Q}{A_{\text{saída}}}=\frac{50}{16\pi}=\frac{50}{16\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}995\\ \mathrm{m/s}.íí
Observação: aqui vou identificar, para a fórmula dada, v_f como a velocidade na seção de menor diâmetro (maior velocidade) e v_s como a velocidade na seção de maior diâmetro (menor velocidade). Assim v_f=v_{\text{entrada}} e v_s=v_{\text{saída}}í. Isso torna v_f^2-v_s^2>0, compatível com a perda de carga positiva informada.

Passo 4

Calcular a perda de carga no tubo de sucção usando a fórmula fornecida.
Fórmula dada:
j_{s}=K_{S}\left(\frac{v_{f}^{2}-v_{s}^{2}}{2g}\right)
Substituindo K_{S}=1{,}1, v_{f}\approx7{,}07\\ \mathrm{m/s}, v_{s}\approx0{,}995\\ \mathrm{m/s}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
Calcule v_{f}^{2}-v_{s}^{2}:
v_{f}^{2}\approx(7{,}07)^{2}\approx50{,}00,\qquad v_{s}^{2}\approx(0{,}995)^{2}\approx0{,}9906,
v_{f}^{2}-v_{s}^{2}\approx50{,}00-0{,}9906=49{,}0094\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora
\frac{v_{f}^{2}-v_{s}^{2}}{2g}=\frac{49{,}0094}{2\cdot 9{,}81}=\frac{49{,}0094}{19{,}62}\approx2{,}499\\ \mathrm{m}.
Finalmente
j_{s}=1{,}1\cdot 2{,}499\approx2{,}749\\ \mathrm{m}.
Interpretação: essa é a perda de carga associada à expansão/sucção modelada pelo coeficiente K_{S}.

Passo 5

Calcular as perdas localizadas (válvula e entrada de turbina), que usam a expressão clássica
h_{\text{local}}=\zeta\cdot\frac{v^{2}}{2g},
onde v é a velocidade na seção onde a perda ocorre (aqui usamos a velocidade do adutor, \approx7{,}07\\ \mathrm{m/s}).
Primeiro calcule o termo dinâmico comum:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(7{,}07)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\frac{50}{19{,}62}\approx2{,}549\\ \mathrm{m}.
Perda na válvula:
h_{\text{válvula}}=\zeta_{\text{válvula}}\cdot\frac{v^{2}}{2g}=0{,}8\cdot 2{,}549\approx2{,}039\\ \mathrm{m}.áá
Perda localizada na entrada da turbina (coeficiente 1{,}2):
h_{\text{turbina, local}}=\zeta_{\text{turbina}}\cdot\frac{v^{2}}{2g}=1{,}2\cdot 2{,}549\approx3{,}059\\ \mathrm{m}.
Explicação: as perdas localizadas são proporcionais ao quadrado da velocidade porque elas representam transformações de energia cinética em calor/turbulência em pontos concentrados.

Passo 6

Calcular a perda por atrito maior na tubulação (perda de carga distribuída) usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy que depende da rugosidade relativa \varepsilon/D e do número de Reynolds Re.
Passo 6.1 — determinar o número de Reynolds:
Re=\frac{vD}{\nu}=\frac{7{,}07\cdot 3{,}0}{1{,}0\times10^{-6}}= \frac{21{,}21}{1{,}0\times10^{-6}}=2{,}121\times10^{7}.
Esse valor é muito alto, indicando escoamento totalmente turbulento.
Passo 6.2 — usar uma fórmula explícita para f. Vou usar a fórmula de Swamee–Jain (explícita, adequada para escoamento turbulento em tubos):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Explicando variáveis: \varepsilon é a rugosidade absoluta, D o diâmetro, Re o número de Reynolds.
Substituindo \varepsilon=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, D=3{,}0\\ \mathrm{m}, Re=2{,}121\times10^{7}:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{3{,}7\cdot 3{,}0}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{11{,}1}\approx9{,}01\times10^{-5}.
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\text{ é muito pequeno (ordem de }10^{-7}\text{), então fica desprezível comparado a }9{,}01\times10^{-5}.éãí
Assim o argumento do log10 é aproximadamente 9{,}01\times10^{-5}. Então
\log_{10}(9{,}01\times10^{-5})\approx -4{,}0458.
\left[\log_{10}(\cdots)\right]^{2}\approx(-4{,}0458)^{2}\approx16{,}369.
f\approx\frac{0{,}25}{16{,}369}\approx0{,}01527.
Comentário: o fator de atrito f\approx0{,}0153 é um valor típico para tubos relativamente rugosos e grande Reynolds em diâmetros grandes.
Passo 6.3 — calcular h_{f}:
Recordando \dfrac{v^{2}}{2g}\approx2{,}549\\ \mathrm{m}, L/D=180/3=60:
h_{f}=0{,}01527\cdot 60\cdot 2{,}549.
Calcule o produto:
60\cdot 2{,}549=152{,}94,
h_{f}=0{,}01527\cdot 152{,}94\approx2{,}336\\ \mathrm{m}.
Interpretação: essa é a perda de carga por atrito ao longo dos 180\\ \mathrm{m} do adutor.

Passo 7

Somar todas as perdas hidráulicas ao longo do trajeto para obter a perda total de carga entre reservatório (superior) e o nível do eixo do gerador/turbina (ou até o nível do canal de fuga, conforme o H bruto dado).
Listando perdas (em metros):
  • perda por atrito no adutor: h_{f}\approx2{,}336\\ \mathrm{m} (Passo 6).
  • perda na válvula: h_{\text{válvula}}\approx2{,}039\\ \mathrm{m}á (Passo 5).
  • perda localizada na entrada da turbina: h_{\text{turbina, local}}\approx3{,}059\\ \mathrm{m} (Passo 5).
  • perda no tubo de sucção: j_{s}\approx2{,}749\\ \mathrm{m} (Passo 4).
Somatório:
h_{\text{total}}=h_{f}+h_{\text{válvula}}+h_{\text{turbina, local}}+j_{s}\approx2{,}336+2{,}039+3{,}059+2{,}749.á
h_{\text{total}}\approx10{,}183\\ \mathrm{m}.
Comentário: essas perdas são relativamente pequenas comparadas ao H bruto de 200\\ \mathrm{m}, mas somam cerca de 10{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular a carga líquida efetiva disponível para conversão pela turbina (carga líquida ou carga útil após perdas hidráulicas):
H_{\text{líquida}}=H - h_{\text{total}}.í
Substituindo:
H_{\text{líquida}}=200{,}0 - 10{,}183\approx189{,}817\\ \mathrm{m}.í
Explicação: essa é a altura efetiva que ainda pode ser convertida em potência mecânica pela turbina (descontadas todas as perdas hidráulicas consideradas).

Passo 9

Calcular a potência hidráulica efetivamente entregue ao gerador (assumindo que não há perdas mecânicas nos eixos). Fórmula da potência hidráulica:
P=\rho g Q H_{\text{líquida}}.í
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, Q=50\\ \mathrm{m^{3}/s}, H_{\text{líquida}}\approx189{,}817\\ \mathrm{m}í:
Calcule gQ:
gQ=9{,}81\cdot 50=490{,}5\\ \mathrm{(m^{2}/s^{3})}\\ \text{(unidade auxiliar)}.
P=1000\cdot 490{,}5\cdot 189{,}817\\ \mathrm{W}.
P\approx1000\cdot 93{,}105{,}238{,}5\\ \mathrm{W}=93{,}105{,}238{,}5\\ \mathrm{W}.
Em unidades práticas:
P\approx93{,}105\\ \mathrm{kW}\times1000=93{,}105{,}238{,}5\\ \mathrm{W}\approx93{,}105\\ \mathrm{kW}\approx93{,}11\\ \mathrm{MW}.
Arredondando de forma usual:
P\approx93{,}11\\ \mathrm{MW}.
Comentário: esse é o valor da potência hidráulica convertida em eixo útil (que chega ao gerador) supondo-se nulas as perdas mecânicas no eixo.

Passo 10

Calcular a eficiência hidráulica da turbina. Usarei a definição prática:
\eta_{\text{hidráulica}}=\frac{\text{potência efetiva entregue}}{\text{potência hidráulica bruta disponível}}=\frac{\rho g Q H_{\text{líquida}}}{\rho g Q H}=\frac{H_{\text{líquida}}}{H}.áêêáííí
Isto é, é a fração da carga bruta H que finalmente é convertida em potência útil após perdas hidráulicas.
Substituindo:
\eta_{\text{hidráulica}}=\frac{189{,}817}{200}\approx0{,}949085.á
Convertendo em porcentagem:
\eta_{\text{hidráulica}}\approx94{,}91\%.á
Interpretação: cerca de 94{,}9\% da energia potencial teórica pela queda de 200\\ \mathrm{m} é transformada em potência útil no eixo (o restante foi perdido por atrito, válvula, entrada da turbina e sucção).

Resposta

Potência hidráulica entregue ao gerador: 93{,}11\\ \mathrm{MW}
Eficiência hidráulica da turbina: 94{,}91\%

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