Uma pessoa faz duas afirmações: que a tensão de cisalhamento no centro de um tubo circular durante o escoamento laminar completamente desenvolvido é “zero” e que a tensão de cisalhamento é máxima na superfície do tubo. VOCÊ CONCORDA COM ISSO? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre o escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular e pede concordância/justificativa. As duas afirmações são:
- Afirmação A: a tensão de cisalhamento no centro do tubo é “zero”.
- Afirmação B: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície (parede) do tubo.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
- Trata‑se de escoamento laminar, completamente desenvolvido, em um tubo circular de raio
. - É um escoamento unidimensional axial simétrico (a velocidade axial depende apenas da distância radial
ao eixo).
Nada mais é pedido além de concordar ou não e justificar.
Passo 2
Intuição física simples (sem contas): por simetria, no eixo do tubo (
) não existe direção preferencial radial para a deformação do fluido, de modo que o gradiente radial da velocidade axial
deve ser nulo em
. Como tensão de cisalhamento está relacionada ao gradiente de velocidade (para fluidos usualmente), isso sugere que a tensão de cisalhamento seja zero no centro. Já próximo à parede o fluido “escorrega” mais lentamente (velocidade reduz até zero na parede), fazendo o gradiente de velocidade ser maior perto da parede; por isso espera‑se que a magnitude da tensão de cisalhamento seja máxima na parede. Agora vamos provar isso de forma matemática e rigorosa.
Passo 3
Equacionamento: balanço de momento no sentido axial para escoamento totalmente desenvolvido e axisimétrico.
- Notação:
é a direção axial, é a coordenada radial, é a componente de tensão de cisalhamento (força por área) atuando na superfície radial com direção axial, e é a pressão. - Em regime estacionário e totalmente desenvolvido a equação de momento reduz à forma (equilíbrio entre gradiente de pressão e variação radial da tensão de cisalhamento):
Esta é a forma usual em coordenadas cilíndricas: o termo
é a força por volume devido ao gradiente de pressão; o segundo termo é a divergência da tensão de cisalhamento.
Passo 4
Integração da equação para obter
.
Multiplicando por e integrando em
:
Multiplicando por
Integração de
até
(ou integração geral com constante de integração
):
Agora impomos condição física no eixo
: para que
seja finito em
o termo
deve ser zero (se
então
teria singularidade em
). Logo
e obtemos
Passo 5
Interpretação e valores em
e
.
- No centro (
):
Portanto a tensão de cisalhamento é zero no eixo — isso confirma a Afirmação A.
- No raio
(na parede):
A magnitude da tensão de cisalhamento cresce linearmente com
desde zero no centro até
na parede. Assim a magnitude da tensão de cisalhamento é máxima na superfície do tubo — isso confirma a Afirmação B.
Observações sobre sinal e magnitude:
- Em escoamento com pressão decrescendo no sentido do escoamento usual, tem‑se
; então tem sinal oposto ao de , mas o que interessa para “máxima tensão de cisalhamento” é a magnitude , que aumenta com . - Para um fluido newtoniano relaciona‑se
. Da expressão de segue que tem a mesma variação linear em , integrando dá o perfil parabólico de velocidade (Hagen–Poiseuille), mas a distribuição de obtida aqui não depende da lei constitutiva: ela é consequência do equilíbrio de momento (portanto válida em escoamento totalmente desenvolvido mesmo para muitos fluidos não newtonianos — o perfil de velocidade muda, mas a distribuição de tensão em função de é fixada pelo gradiente de pressão).
Passo 6
Resumo didático e reforço (como lembrar na prova):
- Regra prática: em escoamento axisimétrico totalmente desenvolvido a tensão de cisalhamento radial-axial cresce (em módulo) linearmente com
. Logo sempre é zero no centro e máxima na parede. - Maneira rápida de obter: aplicar
e integrar; usar regularidade no eixo para eliminar constante. - Lembre que “tensão de cisalhamento máxima na parede” refere‑se à máxima magnitude de
dentro do fluido — não confundir com velocidade máxima (a velocidade é máxima no centro).
Resposta
Concordo com ambas. A tensão de cisalhamento no centro é
e a magnitude da tensão de cisalhamento aumenta linearmente com
, sendo máxima na parede:
, logo
.