Uma pessoa faz duas afirmações: que a tensão de cisalhamento no centro de um tubo circular durante o escoamento laminar completamente desenvolvido é “zero” e que a tensão de cisalhamento é máxima na superfície do tubo. VOCÊ CONCORDA COM ISSO? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre o escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular e pede concordância/justificativa. As duas afirmações são:
  • Afirmação A: a tensão de cisalhamento no centro do tubo é “zero”.
  • Afirmação B: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície (parede) do tubo.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • Trata‑se de escoamento laminar, completamente desenvolvido, em um tubo circular de raio R.
  • É um escoamento unidimensional axial simétrico (a velocidade axial depende apenas da distância radial r ao eixo).
    Nada mais é pedido além de concordar ou não e justificar.

Passo 2

Intuição física simples (sem contas): por simetria, no eixo do tubo ( r=0) não existe direção preferencial radial para a deformação do fluido, de modo que o gradiente radial da velocidade axial \dfrac{du_z}{dr} deve ser nulo em r=0. Como tensão de cisalhamento está relacionada ao gradiente de velocidade (para fluidos usualmente), isso sugere que a tensão de cisalhamento seja zero no centro. Já próximo à parede o fluido “escorrega” mais lentamente (velocidade reduz até zero na parede), fazendo o gradiente de velocidade ser maior perto da parede; por isso espera‑se que a magnitude da tensão de cisalhamento seja máxima na parede. Agora vamos provar isso de forma matemática e rigorosa.

Passo 3

Equacionamento: balanço de momento no sentido axial para escoamento totalmente desenvolvido e axisimétrico.
  • Notação: z é a direção axial, r é a coordenada radial, \tau_{rz}(r) é a componente de tensão de cisalhamento (força por área) atuando na superfície radial com direção axial, e p(z) é a pressão.
  • Em regime estacionário e totalmente desenvolvido a equação de momento reduz à forma (equilíbrio entre gradiente de pressão e variação radial da tensão de cisalhamento):
0 = -\frac{dp}{dz} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,\tau_{rz}(r)\bigr).
Esta é a forma usual em coordenadas cilíndricas: o termo -\dfrac{dp}{dz} é a força por volume devido ao gradiente de pressão; o segundo termo é a divergência da tensão de cisalhamento.

Passo 4

Integração da equação para obter \tau_{rz}(r).
Multiplicando por r e integrando em r:
\frac{d}{dr}\bigl(r\,\tau_{rz}(r)\bigr) = r\frac{dp}{dz}.
Integração de 0 até r (ou integração geral com constante de integração C):
r\,\tau_{rz}(r) = \frac{dp}{dz}\,\frac{r^{2}}{2} + C.
Agora impomos condição física no eixo r=0: para que \tau_{rz} seja finito em r=0 o termo C deve ser zero (se C\neq0 então \tau_{rz}\sim C/r teria singularidade em r=0). Logo C=0 e obtemos
\tau_{rz}(r) = \frac{r}{2}\,\frac{dp}{dz}.

Passo 5

Interpretação e valores em r=0 e r=R.
  • No centro ( r=0):
\tau_{rz}(0) = \frac{0}{2}\,\frac{dp}{dz} = 0.
Portanto a tensão de cisalhamento é zero no eixo — isso confirma a Afirmação A.
  • No raio r=R (na parede):
\tau_{w}\equiv \tau_{rz}(R) = \frac{R}{2}\,\frac{dp}{dz}.
A magnitude da tensão de cisalhamento cresce linearmente com r desde zero no centro até |\tau_w| na parede. Assim a magnitude da tensão de cisalhamento é máxima na superfície do tubo — isso confirma a Afirmação B.
Observações sobre sinal e magnitude:
  • Em escoamento com pressão decrescendo no sentido do escoamento usual, tem‑se \dfrac{dp}{dz}<0; então \tau_{rz}(r) tem sinal oposto ao de r, mas o que interessa para “máxima tensão de cisalhamento” é a magnitude |\tau_{rz}|, que aumenta com r.
  • Para um fluido newtoniano relaciona‑se \tau_{rz}=\mu\,\dfrac{du_z}{dr}. Da expressão de \tau_{rz}(r) segue que \dfrac{du_z}{dr} tem a mesma variação linear em r, integrando dá o perfil parabólico de velocidade (Hagen–Poiseuille), mas a distribuição de \tau_{rz} obtida aqui não depende da lei constitutiva: ela é consequência do equilíbrio de momento (portanto válida em escoamento totalmente desenvolvido mesmo para muitos fluidos não newtonianos — o perfil de velocidade muda, mas a distribuição de tensão em função de r é fixada pelo gradiente de pressão).

Passo 6

Resumo didático e reforço (como lembrar na prova):
  • Regra prática: em escoamento axisimétrico totalmente desenvolvido a tensão de cisalhamento radial-axial cresce (em módulo) linearmente com r. Logo sempre é zero no centro e máxima na parede.
  • Maneira rápida de obter: aplicar \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}(r\tau_{rz})=\dfrac{dp}{dz} e integrar; usar regularidade no eixo para eliminar constante.
  • Lembre que “tensão de cisalhamento máxima na parede” refere‑se à máxima magnitude de \tau_{rz} dentro do fluido — não confundir com velocidade máxima (a velocidade é máxima no centro).

Resposta

Concordo com ambas. A tensão de cisalhamento no centro é \tau_{rz}(0)=0 e a magnitude da tensão de cisalhamento aumenta linearmente com r, sendo máxima na parede: \tau_{rz}(r)=\dfrac{r}{2}\dfrac{dp}{dz}, logo \tau_{w}=\tau_{rz}(R)=\dfrac{R}{2}\dfrac{dp}{dz}.

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