47 Duas barras de metal sobrepostas e soldadas por uma só extremidade apresentam em qualquer temperatura a mesma diferença de comprimento. Aquecendo ambas as barras de \mathrm{T}^{\circ} \mathrm{C}, a relação dos seus comprimentos passa a ser: L_{1} / L_{2}=n. Sabendo que seus coeficientes de dilatação são \alpha_{1} e \alpha_{2}, encontrar " n " em função de T, \alpha_{1} e \alpha_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas barras metálicas, soldadas por uma extremidade, cujos comprimentos são, em temperatura ambiente, L_{10} e L_{20} (vou usar esses símbolos para os comprimentos iniciais). As informações/condições são:
  • Os coeficientes lineares de dilatação são \alpha_{1} para a barra 1 e \alpha_{2} para a barra 2.
  • Ao aquecer ambas por \,T^\circ\mathrm{C} (ou seja, variação de temperatura \Delta T = T), os comprimentos passam a ser L_{1} e L_{2}.
  • O enunciado afirma que as duas barras “apresentam em qualquer temperatura a mesma diferença de comprimento” — isto é, a diferença entre os comprimentos das barras não muda com a temperatura; formalmente, para qualquer T,
L_{1}-L_{2}=L_{10}-L_{20}.
  • Pergunta: encontrar a razão n definida por
n=\frac{L_{1}}{L_{2}}
em função de \,T,\alpha_{1},\alpha_{2}.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula básica da dilatação linear (a “aula” pedida): quando um corpo de comprimento inicial L_{0} sofre uma variação de temperatura \Delta T, seu aumento de comprimento \Delta L é dado por
\Delta L=\alpha\,L_{0}\,\Delta T,
onde
  • \alpha é o coeficiente linear de dilatação (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_{0} é o comprimento inicial (antes da variação de temperatura),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta L é o acréscimo no comprimento.
    Assim, o novo comprimento vale
L=L_{0}+\Delta L=L_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
É uma fórmula linear e muito usada em provas — memorizando isso já ganhamos metade da batalha.

Passo 3

Aplicando isso às duas barras (com \Delta T=T):
L_{1}=L_{10}\bigl(1+\alpha_{1}T\bigr), \qquad L_{2}=L_{20}\bigl(1+\alpha_{2}T\bigr).
Expliquei cada símbolo antes: L_{10},L_{20} são os comprimentos iniciais; L_{1},L_{2} os comprimentos após aquecer em \,T^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora usamos a condição do enunciado: a diferença dos comprimentos não muda com a temperatura, logo para qualquer T
L_{1}-L_{2}=L_{10}-L_{20}.
Substituindo as expressões do Passo 3:
L_{10}\bigl(1+\alpha_{1}T\bigr)-L_{20}\bigl(1+\alpha_{2}T\bigr)=L_{10}-L_{20}.
Vou desenvolver e simplificar essa igualdade.

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo:
L_{10}+L_{10}\alpha_{1}T - L_{20} - L_{20}\alpha_{2}T = L_{10}-L_{20}.
Repare que L_{10}-L_{20} aparece em ambos os lados; podemos cancelar esses termos, ficando
L_{10}\alpha_{1}T - L_{20}\alpha_{2}T = 0.
Como a igualdade deve valer para qualquer T (ou, no caso T\neq0, podemos dividir por T), obtemos a condição simples
L_{10}\alpha_{1}=L_{20}\alpha_{2}.
Isto dá a relação entre os comprimentos iniciais e os coeficientes:
\frac{L_{10}}{L_{20}}=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}.

Passo 6

Agora calculamos a razão n=\dfrac{L_{1}}{L_{2}} usando as expressões do Passo 3 e a relação do Passo 5. Começamos por escrever
\frac{L_{1}}{L_{2}}=\frac{L_{10}\bigl(1+\alpha_{1}T\bigr)}{L_{20}\bigl(1+\alpha_{2}T\bigr)}.
Substituindo \dfrac{L_{10}}{L_{20}}=\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}, vem
\frac{L_{1}}{L_{2}}=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\cdot\frac{1+\alpha_{1}T}{1+\alpha_{2}T}.
Podemos deixar assim ou escrever multiplicado:
n=\frac{\alpha_{2}\bigl(1+\alpha_{1}T\bigr)}{\alpha_{1}\bigl(1+\alpha_{2}T\bigr)}.

Passo 7

Interpretação curta para a hora da prova (dica amiga): a condição de “mesma diferença de comprimento para qualquer temperatura” força os comprimentos iniciais a compensarem os diferentes coeficientes (isto é, barras com menor \alpha têm que ser proporcionalmente maiores inicialmente). Depois é só aplicar a fórmula da dilatação linear e montar a razão. Se esquecer a dedução, lembre que o passo-chave é igualar os termos lineares em T.

Resposta

n=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\cdot\frac{1+\alpha_{1}T}{1+\alpha_{2}T}

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