47 Duas barras de metal sobrepostas e soldadas por uma só extremidade apresentam em qualquer temperatura a mesma diferença de comprimento. Aquecendo ambas as barras de
, a relação dos seus comprimentos passa a ser:
. Sabendo que seus coeficientes de dilatação são
e
, encontrar "
" em função de
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas barras metálicas, soldadas por uma extremidade, cujos comprimentos são, em temperatura ambiente,
e
(vou usar esses símbolos para os comprimentos iniciais). As informações/condições são:
- Os coeficientes lineares de dilatação são
para a barra 1 e para a barra 2. - Ao aquecer ambas por
(ou seja, variação de temperatura ), os comprimentos passam a ser e . - O enunciado afirma que as duas barras “apresentam em qualquer temperatura a mesma diferença de comprimento” — isto é, a diferença entre os comprimentos das barras não muda com a temperatura; formalmente, para qualquer
,
- Pergunta: encontrar a razão
definida por
em função de
.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula básica da dilatação linear (a “aula” pedida): quando um corpo de comprimento inicial
sofre uma variação de temperatura
, seu aumento de comprimento
é dado por
onde
-
é o coeficiente linear de dilatação (unidade: ), -
é o comprimento inicial (antes da variação de temperatura), -
é a variação de temperatura (em ), -
é o acréscimo no comprimento.
Assim, o novo comprimento vale
É uma fórmula linear e muito usada em provas — memorizando isso já ganhamos metade da batalha.
Passo 3
Aplicando isso às duas barras (com
):
Expliquei cada símbolo antes:
são os comprimentos iniciais;
os comprimentos após aquecer em
.
Passo 4
Agora usamos a condição do enunciado: a diferença dos comprimentos não muda com a temperatura, logo para qualquer
Substituindo as expressões do Passo 3:
Vou desenvolver e simplificar essa igualdade.
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo:
Repare que
aparece em ambos os lados; podemos cancelar esses termos, ficando
Como a igualdade deve valer para qualquer
(ou, no caso
, podemos dividir por
), obtemos a condição simples
Isto dá a relação entre os comprimentos iniciais e os coeficientes:
Passo 6
Agora calculamos a razão
usando as expressões do Passo 3 e a relação do Passo 5. Começamos por escrever
Substituindo
, vem
Podemos deixar assim ou escrever multiplicado:
Passo 7
Interpretação curta para a hora da prova (dica amiga): a condição de “mesma diferença de comprimento para qualquer temperatura” força os comprimentos iniciais a compensarem os diferentes coeficientes (isto é, barras com menor
têm que ser proporcionalmente maiores inicialmente). Depois é só aplicar a fórmula da dilatação linear e montar a razão. Se esquecer a dedução, lembre que o passo-chave é igualar os termos lineares em
.