44 Três hastes do mesmo comprimento estão dispostas formando um triângulo equilátero. Duas hastes são feitas do mesmo material de coeficiente de expansão linear \alpha_{1} e a terceira haste que forma a base do triângulo tem coeficiente de expansão \alpha_{2}. Determine a relação \alpha_{1} / \alpha_{2} para que a altura do triângulo permanece a mesma em todas as temperaturas.

Passo 1

O enunciado dá: três hastes iguais de comprimento inicial L montadas formando um triângulo equilátero. Duas hastes (as duas laterais iguais) têm coeficiente de expansão linear \alpha_{1} e a terceira haste (a base) tem coeficiente \alpha_{2}. Seja \Delta T a variação de temperatura (vou chamar t=\Delta T). A pergunta é: determinar a relação \alpha_{1}/\alpha_{2} de forma que a altura do triângulo permaneça a mesma quando a temperatura mudar.
Informações relevantes listadas:
  • comprimento inicial de cada haste: L (todos iguais),
  • configuração inicial: triângulo equilátero (logo a altura inicial vale \displaystyle h_0=\frac{\sqrt{3}}{2}\,L),
  • duas hastes laterais têm coeficiente \alpha_{1},
  • base tem coeficiente \alpha_{2},
  • queremos a condição sobre \alpha_{1} e \alpha_{2} para que a altura não mude com a temperatura.

Passo 2

Escrevo os comprimentos das hastes após aumento de temperatura t=\Delta T usando a fórmula da expansão linear:
\text{novo comprimento} = \text{comprimento inicial}\times(1+\alpha\,t).
Assim:
a = L(1+\alpha_{1}t)
para as duas hastes iguais (laterais) e
b = L(1+\alpha_{2}t)
para a base.

Passo 3

Agora escrevo a expressão da altura h do triângulo isósceles formado pelos lados a,a,b. A altura parte do vértice oposto à base e corta a base em dois pedaços iguais b/2; forma-se então um triângulo retângulo de catetos h e b/2 e hipotenusa a. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
h=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}.

Passo 4

Queremos que a altura após aquecimento seja igual à altura inicial:
\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}} \;=\; \frac{\sqrt{3}}{2}\,L.
Substituo a=L(1+\alpha_{1}t) e b=L(1+\alpha_{2}t), elevo ao quadrado e divido por L^{2}:
(1+\alpha_{1}t)^{2}-\frac{1}{4}(1+\alpha_{2}t)^{2}=\frac{3}{4}.
Multiplico por 4 para simplificar:
4(1+\alpha_{1}t)^{2}-(1+\alpha_{2}t)^{2}=3.
Faço a expansão dos quadrados:
4\bigl(1+2\alpha_{1}t+\alpha_{1}^{2}t^{2}\bigr)-\bigl(1+2\alpha_{2}t+\alpha_{2}^{2}t^{2}\bigr)=3.
Agrupando termos:
(4-1)+\bigl(8\alpha_{1}-2\alpha_{2}\bigr)t+\bigl(4\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}\bigr)t^{2}=3.
Como 4-1=3, os termos constantes cancelam com o 3 do lado direito, restando
\bigl(8\alpha_{1}-2\alpha_{2}\bigr)t+\bigl(4\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}\bigr)t^{2}=0.

Passo 5

A equação acima deve ser satisfeita para a variação de temperatura considerada. Tentar satisfazê-la exatamente para todo t exige que os coeficientes de t e de t^{2} sejam simultaneamente zero. Isso levaria ao sistema
8\alpha_{1}-2\alpha_{2}=0\quad\text{e}\quad 4\alpha_{1}^{2}-\alpha_{2}^{2}=0,
que, salvo a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=0, é incompatível (as duas equações dão relações diferentes entre \alpha_{1} e \alpha_{2}). Portanto, não é possível escolher coeficientes de expansão não nulos que mantenham exatamente a altura inalterada para todo e qualquer \Delta T.

Passo 6

Na prática (e em problemas desse tipo) assume-se a hipótese física razoável de que as variações de comprimento são pequenas, isto é, \alpha t é pequeno. Então podemos exigir que a altura não mude até a ordem linear em t (isto é, desprezar termos de ordem t^{2} e superiores). Isso significa exigir que a derivada da altura em relação à temperatura, avaliada em t=0, seja zero — em linguagem algébrica, colocar o coeficiente de t igual a zero na equação do Passo 4. Assim imponho:
8\alpha_{1}-2\alpha_{2}=0.
Isolando \alpha_{2}:
\alpha_{2}=4\alpha_{1}.
Logo
\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}=\frac{1}{4}.
Explicação física curta: para coeficientes térmicos típicos \alpha\sim 10^{-6} 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}} e variações de temperatura não enormes, os termos quadráticos (\alpha t)^{2} são muito menores que os lineares e podem ser desprezados; por isso a condição de manter a altura até primeira ordem em t é a resposta útil no contexto de expansão linear.

Passo 7

Resumo e incentivo: o raciocínio foi montar a expressão da altura em função dos comprimentos alterados, expandir, ver que não existe solução exata não-trivial para todo t e então usar a aproximação linear (válida no regime habitual de expansão térmica) para obter a relação entre os coeficientes. Dá para praticar esse tipo de escolha linear/segunda ordem com exemplos numéricos (por exemplo, escolha \alpha_{1}=10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}, veja que \alpha_{2}=4\alpha_{1} mantém a altura praticamente inalterada para variações de algumas dezenas de kelvin).

Resposta

\displaystyle \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}=\frac{1}{4}

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