44 Três hastes do mesmo comprimento estão dispostas formando um triângulo equilátero. Duas hastes são feitas do mesmo material de coeficiente de expansão linear
e a terceira haste que forma a base do triângulo tem coeficiente de expansão
. Determine a relação
para que a altura do triângulo permanece a mesma em todas as temperaturas.
Passo 1
O enunciado dá: três hastes iguais de comprimento inicial
montadas formando um triângulo equilátero. Duas hastes (as duas laterais iguais) têm coeficiente de expansão linear
e a terceira haste (a base) tem coeficiente
. Seja
a variação de temperatura (vou chamar
). A pergunta é: determinar a relação
de forma que a altura do triângulo permaneça a mesma quando a temperatura mudar.
Informações relevantes listadas:
- comprimento inicial de cada haste:
(todos iguais), - configuração inicial: triângulo equilátero (logo a altura inicial vale
), - duas hastes laterais têm coeficiente
, - base tem coeficiente
, - queremos a condição sobre
e para que a altura não mude com a temperatura.
Passo 2
Escrevo os comprimentos das hastes após aumento de temperatura
usando a fórmula da expansão linear:
Assim:
para as duas hastes iguais (laterais) e
para a base.
Passo 3
Agora escrevo a expressão da altura
do triângulo isósceles formado pelos lados
. A altura parte do vértice oposto à base e corta a base em dois pedaços iguais
; forma-se então um triângulo retângulo de catetos
e
e hipotenusa
. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Queremos que a altura após aquecimento seja igual à altura inicial:
Substituo
e
, elevo ao quadrado e divido por
:
Multiplico por
para simplificar:
Faço a expansão dos quadrados:
Agrupando termos:
Como
, os termos constantes cancelam com o
do lado direito, restando
Passo 5
A equação acima deve ser satisfeita para a variação de temperatura considerada. Tentar satisfazê-la exatamente para todo
exige que os coeficientes de
e de
sejam simultaneamente zero. Isso levaria ao sistema
que, salvo a solução trivial
, é incompatível (as duas equações dão relações diferentes entre
e
). Portanto, não é possível escolher coeficientes de expansão não nulos que mantenham exatamente a altura inalterada para todo e qualquer
.
Passo 6
Na prática (e em problemas desse tipo) assume-se a hipótese física razoável de que as variações de comprimento são pequenas, isto é,
é pequeno. Então podemos exigir que a altura não mude até a ordem linear em
(isto é, desprezar termos de ordem
e superiores). Isso significa exigir que a derivada da altura em relação à temperatura, avaliada em
, seja zero — em linguagem algébrica, colocar o coeficiente de
igual a zero na equação do Passo 4. Assim imponho:
Isolando
:
Logo
Explicação física curta: para coeficientes térmicos típicos
–
e variações de temperatura não enormes, os termos quadráticos
são muito menores que os lineares e podem ser desprezados; por isso a condição de manter a altura até primeira ordem em
é a resposta útil no contexto de expansão linear.
Passo 7
Resumo e incentivo: o raciocínio foi montar a expressão da altura em função dos comprimentos alterados, expandir, ver que não existe solução exata não-trivial para todo
e então usar a aproximação linear (válida no regime habitual de expansão térmica) para obter a relação entre os coeficientes. Dá para praticar esse tipo de escolha linear/segunda ordem com exemplos numéricos (por exemplo, escolha
, veja que
mantém a altura praticamente inalterada para variações de algumas dezenas de kelvin).