49 Um relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno siberiano, onde a temperatura média diária é
pêndulo é constituído por um fio de prata e tem comprimento
. Considere que o período do pêndulo desse relógio é dado por
. O coeficiente de dilatação linear da prata é
. No verão, a temperatura média diária no local chega a
. Calcule quanto o relógio atrasará por dia devido a esta variação de temperatura.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o atraso diário do relógio quando a temperatura sobe do inverno ao verão:
- Temperatura inicial (inverno):
. - Temperatura no verão:
. - Comprimento do pêndulo na temperatura
: . - Coeficiente de dilatação linear da prata:
. - Fórmula do período do pêndulo:
. - Aceleração da gravidade (valor que usaremos):
.
O que devemos calcular: quanto o relógio atrasa por dia (ou seja, quantos segundos de atraso em 24 horas) quando a temperatura aumenta de
para
.
Passo 2
Entender a dilatação linear do fio: quando a temperatura varia, o comprimento muda segundo a fórmula
onde
é o coeficiente de dilatação linear e
é a variação de temperatura. Aqui
Passo 3
Calcular o novo comprimento
no verão substituindo na fórmula da dilatação:
Primeiro calcule o fator de aumento:
Então
Passo 4
Lembrete físico sobre o período: a fórmula
significa que o período varia como a raiz quadrada do comprimento. Isso implica que um pequeno aumento relativo em
causa aproximadamente metade desse aumento relativo em
. Em termos percentuais (ou razão):
porque
para
. Aqui
é pequeno (da ordem de
), então a aproximação é válida.
Passo 5
Relacionar
com
e
. Como
,
Portanto
Isto é importante: a razão relativa de aumento do período não depende de
nem de
; depende só de
e
.
Passo 6
Calcular a variação relativa do período numericamente:
Ou seja, o período aumenta aproximadamente
(ou
em razão).
Passo 7
Agora transformar essa variação de período em atraso por dia. Cada batida do pêndulo fica maior em
, e em um dia ocorrem aproximadamente
batidas. O atraso total por dia é
Usando a expressão encontrada para
obtemos uma expressão simples que não precisa de
:
Passo 8
Calcular numericamente o atraso por dia:
Interpretação: o relógio passa a marcar mais tarde, isto é, perde cerca de
segundos a cada dia devido ao alongamento do fio de prata com o aquecimento.