49 Um relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno siberiano, onde a temperatura média diária é \mathrm{T}_{0}=-30^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} pêndulo é constituído por um fio de prata e tem comprimento \mathrm{L}_{0}=0,25 \mathrm{~m}. Considere que o período do pêndulo desse relógio é dado por \mathrm{P}=2 \pi(\mathrm{~L} / \mathrm{g})^{1 / 2}. O coeficiente de dilatação linear da prata é \alpha=2,0.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. No verão, a temperatura média diária no local chega a \mathrm{T}=+30^{\circ} \mathrm{C}. Calcule quanto o relógio atrasará por dia devido a esta variação de temperatura.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o atraso diário do relógio quando a temperatura sobe do inverno ao verão:
  • Temperatura inicial (inverno): \mathrm{T}_{0} = -30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura no verão: \mathrm{T} = +30^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento do pêndulo na temperatura \mathrm{T}_{0}: \mathrm{L}_{0} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de dilatação linear da prata: \alpha = 2{,}0\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Fórmula do período do pêndulo: \displaystyle P = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Aceleração da gravidade (valor que usaremos): \displaystyle g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que devemos calcular: quanto o relógio atrasa por dia (ou seja, quantos segundos de atraso em 24 horas) quando a temperatura aumenta de -30^\circ\mathrm{C} para +30^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entender a dilatação linear do fio: quando a temperatura varia, o comprimento muda segundo a fórmula
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear e \Delta T = T - T_0 é a variação de temperatura. Aqui
\Delta T = \mathrm{T}-\mathrm{T}_{0} = (+30) - (-30) = 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o novo comprimento L no verão substituindo na fórmula da dilatação:
L = 0{,}25\bigl(1 + 2{,}0\times10^{-5}\times 60\bigr).
Primeiro calcule o fator de aumento:
2{,}0\times10^{-5}\times 60 = 1{,}2\times10^{-3}.
Então
L = 0{,}25\times(1 + 1{,}2\times10^{-3}) = 0{,}25\times 1{,}0012 = 0{,}250300\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Lembrete físico sobre o período: a fórmula \displaystyle P = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} significa que o período varia como a raiz quadrada do comprimento. Isso implica que um pequeno aumento relativo em L causa aproximadamente metade desse aumento relativo em P. Em termos percentuais (ou razão):
\frac{\Delta P}{P} \approx \frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L},
porque \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{1}{2}\varepsilon para |\varepsilon|\ll 1. Aqui \Delta L/L é pequeno (da ordem de 10^{-3}), então a aproximação é válida.

Passo 5

Relacionar \Delta L/L com \alpha e \Delta T. Como L = L_0(1+\alpha\Delta T),
\frac{\Delta L}{L_0} = \alpha\,\Delta T.
Portanto
\frac{\Delta P}{P_0} \approx \frac{1}{2}\alpha\,\Delta T.
Isto é importante: a razão relativa de aumento do período não depende de g nem de L_0; depende só de \alpha e \Delta T.

Passo 6

Calcular a variação relativa do período numericamente:
\frac{\Delta P}{P_0} \approx \frac{1}{2}\times 2{,}0\times10^{-5}\times 60 = 1{,}0\times10^{-5}\times 60 = 6{,}0\times10^{-4}.
Ou seja, o período aumenta aproximadamente 0{,}06\% (ou 6{,}0\times10^{-4} em razão).

Passo 7

Agora transformar essa variação de período em atraso por dia. Cada batida do pêndulo fica maior em \Delta P = P_0\cdot(\Delta P/P_0), e em um dia ocorrem aproximadamente 86400/P_0 batidas. O atraso total por dia é
\Delta t = \frac{86400}{P_0}\,\Delta P = 86400\frac{\Delta P}{P_0}.
Usando a expressão encontrada para \Delta P/P_0 obtemos uma expressão simples que não precisa de P_0:
\Delta t = 86400\left(\frac{1}{2}\alpha\,\Delta T\right).

Passo 8

Calcular numericamente o atraso por dia:
\Delta t = 86400\times 6{,}0\times10^{-4} = 86400\times 0{,}0006 = 51{,}84\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o relógio passa a marcar mais tarde, isto é, perde cerca de 51{,}84 segundos a cada dia devido ao alongamento do fio de prata com o aquecimento.

Resposta

51{,}84\\ \mathrm{s\\ por\\ dia}

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