6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso específico de
e espessura de 20 mm . Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for
MPa , explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a tensão de flexão máxima na peça nas duas posições de apoio e explicar as consequências (se a peça vai romper ou não) sabendo que a tensão de ruptura é
.
Informações relevantes dadas no enunciado e na figura (peguei os comprimentos mostrados na imagem):
- Peso específico (densidade de peso):
. - Espessura da placa:
. - Dimensões mostradas na imagem: comprimento (lanço entre apoios)
e outra dimensão (essa será a altura quando apoiada de lado ou a largura quando apoiada deitada). Eu peguei os valores e diretamente da imagem. - Tensão de ruptura:
.
O problema tem duas posições:
- (a) apoiada em seu lado: a peça fica “em pé”, portanto a seção ativa para flexão tem profundidade
e largura (no plano de dobra) igual à espessura . - (b) apoiada em suas bordas (deitada): a peça fica “deitada”, portanto a profundidade da seção é a espessura
e a largura é .
Não começo a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e todos os dados utilizados.
Passo 2
Plano de resolução e fórmulas básicas (aqui explico didaticamente cada conceito que vou usar).
- Carga distribuída por unidade de comprimento
(força por metro ao longo do vão) causada pelo peso próprio da placa:
onde
-
é o peso específico (força / volume) em , -
é a largura da seção transversal (m), -
é a profundidade (altura) da seção transversal (m).
Explicação: a placa tem área da seção transversal(m^2); multiplicando por obtemos a carga por metro (kN/m).
- Para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída
(unidade de força por comprimento), o momento fletor máximo (no meio do vão) é
onde
é o vão (m). Essa fórmula vem da análise clássica de vigas (equilíbrio e integração das curvas de momento).
- A tensão de flexão máxima na fibra extrema (tensão normal máxima) é dada por
onde
-
é o momento fletor máximo (N·m), -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (metade da profundidade): (m), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m^4).
- Para uma seção retangular, o momento de inércia em torno do eixo neutro (eixo horizontal que corta a seção ao meio) é
onde
é a largura (a dimensão paralela ao eixo de largura da placa) e
é a profundidade (espessura efetiva na direção da flexão).
Observação prática: atenção a unidades. Vou trabalhar convertendo
para
e em seguida transformar para N e Pa quando necessário (1 kN = 1000 N; 1 MPa =
). Para manter clareza, farei cálculos em unidades SI (N, m, Pa).
Passo 3
Cálculo preliminar comum a (a) e (b): verificar que a área da seção
nas duas orientações é igual e calcular a carga por unidade de comprimento
.
- Dados numéricos:
. - Em ambas as orientações a área da seção transversal vale
(para (a) ; para (b) ). Portanto .
Calculo de
:
Comentário amigável: interessante — a carga por metro é a mesma nas duas posições porque a mesma massa por comprimento atua; o que muda é a rigidez da seção (momento de inércia
) e a distância
, por isso as tensões mudam muito.
Passo 4
Cálculo do momento fletor máximo (mesmo para (a) e (b), porque
e
são os mesmos):
Substituindo
e
:
Observação:
.
Passo 5
Caso (a) — peça apoiada em seu lado (em pé).
- Seção:
, . - Distância à fibra extrema:
. - Momento de inércia:
- Tensão máxima pela fórmula
:
Convertendo para MPa:
Interpretação curta e amigável:
é muito menor que
, então na posição (a) a peça não romperá por flexão causada pelo próprio peso — está segura com folga.
Passo 6
Caso (b) — peça apoiada em suas bordas (deitada).
- Seção:
, . - Distância à fibra extrema:
. - Momento de inércia:
- Tensão máxima:
Convertendo:
Interpretação curta e amigável:
. Ou seja, na posição (b) a tensão de flexão excede a tensão de ruptura — a peça vai romper (ou apresentar fissuração/fragilização) sob seu próprio peso se apoiada dessa forma.
Passo 7
Conclusões práticas e explicação das consequências (resumo motivador):
- Apoiar a peça “em pé” (lado) é muito mais seguro: a profundidade grande (
) aumenta fortemente o momento de inércia (lembre que ), reduzindo a tensão de flexão para um valor pequeno ( ), bem abaixo da ruptura. Então nessa posição a peça suporta o próprio peso sem risco de quebra por flexão. - Apoiar a peça “deitada” (bordas) dá uma seção muito rasa (
), o que faz muito pequeno e a tensão aumentar muito (para cerca de ), ultrapassando a resistência do mármore. Consequência: ruptura ou fissuração provável; portanto não se deve apoiar a placa apenas nas bordas nesse sentido.
Força motivacional rápida: deu trabalho, mas a intuição é: mais profundidade significa muito mais rigidez em flexão (por causa do
em
). Por isso peça “em pé” é segura; deitada, fininha, não.
Resposta
(a)
; não rompe (seguro).
(b) ; rompe (tensão acima de
).
(b)