6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso específico de 24 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e espessura de 20 mm . Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for \sigma_{\text {rup }}=1,5 MPa , explique as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a tensão de flexão máxima na peça nas duas posições de apoio e explicar as consequências (se a peça vai romper ou não) sabendo que a tensão de ruptura é \sigma_{\text{rup}}=1,5\\ \mathrm{MPa}.
Informações relevantes dadas no enunciado e na figura (peguei os comprimentos mostrados na imagem):
  • Peso específico (densidade de peso): \gamma=24\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Espessura da placa: 20\\ \mathrm{mm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
  • Dimensões mostradas na imagem: comprimento (lanço entre apoios) L=1,5\\ \mathrm{m} e outra dimensão 0,5\\ \mathrm{m} (essa será a altura quando apoiada de lado ou a largura quando apoiada deitada). Eu peguei os valores 1,5\\ \mathrm{m} e 0,5\\ \mathrm{m} diretamente da imagem.
  • Tensão de ruptura: \sigma_{\text{rup}}=1,5\\ \mathrm{MPa}.
O problema tem duas posições:
  • (a) apoiada em seu lado: a peça fica “em pé”, portanto a seção ativa para flexão tem profundidade h=0,5\\ \mathrm{m} e largura (no plano de dobra) igual à espessura b=0,02\\ \mathrm{m}.
  • (b) apoiada em suas bordas (deitada): a peça fica “deitada”, portanto a profundidade da seção é a espessura h=0,02\\ \mathrm{m} e a largura é b=0,5\\ \mathrm{m}.
Não começo a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e todos os dados utilizados.

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas básicas (aqui explico didaticamente cada conceito que vou usar).
  1. Carga distribuída por unidade de comprimento w (força por metro ao longo do vão) causada pelo peso próprio da placa:
w=\gamma\cdot A=\gamma\cdot (b\cdot h),
onde
  • \gamma é o peso específico (força / volume) em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3,
  • b é a largura da seção transversal (m),
  • h é a profundidade (altura) da seção transversal (m).
    Explicação: a placa tem área da seção transversal b\cdot h (m^2); multiplicando por \gamma obtemos a carga por metro (kN/m).
  1. Para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída w (unidade de força por comprimento), o momento fletor máximo (no meio do vão) é
M_{\max}=\frac{wL^2}{8},
onde L é o vão (m). Essa fórmula vem da análise clássica de vigas (equilíbrio e integração das curvas de momento).
  1. A tensão de flexão máxima na fibra extrema (tensão normal máxima) é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}\,c}{I},
onde
  • M_{\max} é o momento fletor máximo (N·m),
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (metade da profundidade): c=\dfrac{h}{2} (m),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m^4).
  1. Para uma seção retangular, o momento de inércia em torno do eixo neutro (eixo horizontal que corta a seção ao meio) é
I=\frac{b\,h^3}{12},
onde b é a largura (a dimensão paralela ao eixo de largura da placa) e h é a profundidade (espessura efetiva na direção da flexão).
Observação prática: atenção a unidades. Vou trabalhar convertendo \gamma para \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 e em seguida transformar para N e Pa quando necessário (1 kN = 1000 N; 1 MPa = 10^6\\ \mathrm{Pa}). Para manter clareza, farei cálculos em unidades SI (N, m, Pa).

Passo 3

Cálculo preliminar comum a (a) e (b): verificar que a área da seção b\cdot h nas duas orientações é igual e calcular a carga por unidade de comprimento w.
  • Dados numéricos: \gamma=24\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3=24000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
  • Em ambas as orientações a área da seção transversal vale b\cdot h=0,02\cdot0,5=0,01\\ \mathrm{m}^2 (para (a) b=0,02,\\ h=0,5; para (b) b=0,5,\\ h=0,02). Portanto b\cdot h=0,01\\ \mathrm{m}^2.
Calculo de w:
w=\gamma\cdot (b\cdot h)=24000\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^3}\times 0,01\\ \mathrm{m}^2=240\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}=0,24\\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.
Comentário amigável: interessante — a carga por metro é a mesma nas duas posições porque a mesma massa por comprimento atua; o que muda é a rigidez da seção (momento de inércia I) e a distância c, por isso as tensões mudam muito.

Passo 4

Cálculo do momento fletor máximo (mesmo para (a) e (b), porque w e L são os mesmos):
M_{\max}=\frac{wL^2}{8}.
Substituindo w=0,24\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}=240\\ \mathrm{N}/\mathrm{m} e L=1,5\\ \mathrm{m}:
M_{\max}=240\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\times\frac{(1,5\\ \mathrm{m})^2}{8} =240\times\frac{2{,}25}{8}\\ \mathrm{N\cdot m} =240\times0{,}28125\\ \mathrm{N\cdot m} =67{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação: M_{\max}=67{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}=0{,}0675\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 5

Caso (a) — peça apoiada em seu lado (em pé).
  • Seção: b=0,02\\ \mathrm{m}, h=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Distância à fibra extrema: c=\dfrac{h}{2}=\dfrac{0,5}{2}=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Momento de inércia:
I=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{0,02\times(0,5)^3}{12} =\frac{0,02\times0{,}125}{12} =\frac{0{,}0025}{12} =0{,}000208333\\ \mathrm{m}^4.
  • Tensão máxima pela fórmula \sigma_{\max}=\dfrac{M_{\max}\,c}{I}:
\sigma_{\max}=\frac{67{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}\times 0{,}25\\ \mathrm{m}}{0{,}000208333\\ \mathrm{m}^4} =\frac{16{,}875}{0{,}000208333}\\ \mathrm{Pa} \approx 81000\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma_{\max}\approx 0{,}081\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação curta e amigável: \sigma_{\max}=0{,}081\\ \mathrm{MPa} é muito menor que \sigma_{\text{rup}}=1{,}5\\ \mathrm{MPa}, então na posição (a) a peça não romperá por flexão causada pelo próprio peso — está segura com folga.

Passo 6

Caso (b) — peça apoiada em suas bordas (deitada).
  • Seção: b=0,5\\ \mathrm{m}, h=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Distância à fibra extrema: c=\dfrac{h}{2}=\dfrac{0,02}{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Momento de inércia:
I=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{0,5\times(0,02)^3}{12} =\frac{0,5\times 8\times10^{-6}}{12} =\frac{4\times10^{-6}}{12} =3{,}3333\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
  • Tensão máxima:
\sigma_{\max}=\frac{67{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}\times 0{,}01\\ \mathrm{m}}{3{,}3333\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4} =\frac{0{,}675}{3{,}3333\times10^{-7}}\\ \mathrm{Pa} \approx 2{,}025\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo:
\sigma_{\max}\approx 2{,}025\\ \mathrm{MPa}\approx 2{,}03\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação curta e amigável: \sigma_{\max}\approx2{,}03\\ \mathrm{MPa}>\sigma_{\text{rup}}=1{,}5\\ \mathrm{MPa}. Ou seja, na posição (b) a tensão de flexão excede a tensão de ruptura — a peça vai romper (ou apresentar fissuração/fragilização) sob seu próprio peso se apoiada dessa forma.

Passo 7

Conclusões práticas e explicação das consequências (resumo motivador):
  • Apoiar a peça “em pé” (lado) é muito mais seguro: a profundidade grande ( h=0,5\\ \mathrm{m}) aumenta fortemente o momento de inércia I (lembre que I\propto h^3), reduzindo a tensão de flexão para um valor pequeno ( 0{,}081\\ \mathrm{MPa}), bem abaixo da ruptura. Então nessa posição a peça suporta o próprio peso sem risco de quebra por flexão.
  • Apoiar a peça “deitada” (bordas) dá uma seção muito rasa ( h=0,02\\ \mathrm{m}), o que faz I muito pequeno e a tensão aumentar muito (para cerca de 2{,}03\\ \mathrm{MPa}), ultrapassando a resistência do mármore. Consequência: ruptura ou fissuração provável; portanto não se deve apoiar a placa apenas nas bordas nesse sentido.
Força motivacional rápida: deu trabalho, mas a intuição é: mais profundidade significa muito mais rigidez em flexão (por causa do h^3 em I). Por isso peça “em pé” é segura; deitada, fininha, não.

Resposta

(a) \sigma_{\max}\approx 0,081\\ \mathrm{MPa}; não rompe (seguro).
(b) \sigma_{\max}\approx 2,03\\ \mathrm{MPa}; rompe (tensão acima de \sigma_{\text{rup}}=1,5\\ \mathrm{MPa}).

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