9.48 Determine o Equivalente de Thévenin, utilizando o Método dos Nós.

Passo 1

O enunciado que você mandou diz apenas: “9.48 Determine o Equivalente de Thévenin, utilizando o Método dos Nós.”\n
Perguntas pedidas pelo enunciado: determinar o equivalente de Thévenin (ou seja, a tensão de Thévenin e a resistência de Thévenin vistos de certos terminais) usando o método dos nós. \n
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma informação explícita sobre o circuito (não foi enviada figura, nem valores, nem indicação de quais terminais). \n
Conclusão: não há dados suficientes para calcular valores numéricos ou um circuito equivalente específico, porque falta a figura do circuito e os valores dos elementos. Neste caso, não é possível obter um resultado numérico único.

Passo 2

O que é o Equivalente de Thévenin (aula rápida e clara). \n
  • O equivalente de Thévenin visto de dois terminais consiste em uma fonte de tensão ideal V_{th} em série com uma resistência R_{th}. \n
  • Para encontrar o equivalente, normalmente precisamos de duas coisas: a tensão de circuito aberto entre os terminais (isto é V_{th}) e a resistência equivalente vista pelos terminais com fontes independentes “desligadas” (isto é R_{th}). \n
    Definições e fórmulas básicas: \n
  • V_{th}= tensão entre os terminais quando não há carga conectada (circuito aberto). \n
  • R_{th}= resistência equivalente vista entre os terminais com todas as fontes independentes desligadas (fontes de tensão substituídas por curto, fontes de corrente por circuito aberto). \n
  • Se o circuito tiver fontes dependentes, não se pode simplesmente “desligar” todas as fontes; nesse caso usamos uma fonte de teste entre os terminais e calculamos R_{th} = \dfrac{V_{test}}{I_{test}}.

Passo 3

Resumo do Método dos Nós (o que é e como aplicar, bem explicado): \n
  • Método dos nós (Nodal) resolve tensões em nós (potenciais) aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL): a soma algébrica das correntes que saem de um nó é zero. \n
  • Para escrever correntes em função de tensões usamos a lei de Ohm: corrente por uma resistência R entre dois nós com tensões V_i e V_j é \dfrac{V_i-V_j}{R}. É prático trabalhar com condutâncias G=\dfrac{1}{R} porque as equações ficam somas de termos G(V_i-V_j). \n
  • Passos práticos do método dos nós: escolher um nó de referência (terra), nomear tensões dos demais nós V_1,V_2,\dots, escrever KCL em cada nó não-referência, expressar correntes em termos das tensões usando resistências ou condutâncias, resolver o sistema linear. \n
  • Forma matricial (quando houver várias equações): \mathbf{G}\mathbf{V}=\mathbf{I}, onde \mathbf{G} é a matriz de condutâncias, \mathbf{V} o vetor de tensões nodais e \mathbf{I} o vetor das correntes injetadas por fontes independentes (com sinais apropriados).

Passo 4

Como usar o Método dos Nós para obter V_{th} (passo a passo detalhado): \n
  1. Identifique claramente os terminais entre os quais você quer o equivalente de Thévenin; chame-os de a e b. \n
  2. Abra o circuito naqueles terminais (não conecte carga): assim você tem o circuito em circuito aberto e quer calcular a tensão V_{ab}=V(a)-V(b). \n
  3. Escolha um nó de referência (normalmente o terminal b pode ser escolhido como referência, V(b)=0, para simplificar). \n
  4. Nomeie todos os nós restantes V_1,V_2,\dots e escreva a KCL em cada nó não-referência: para cada resistência entre nós i e j o termo de corrente é \dfrac{V_i-V_j}{R}. Para correntes de fonte, inclua como corrente injetada no nó (com sinal). Para fontes de tensão conectando dois nós, use técnicas apropriadas (nó supernó). \n
  5. Resolva o sistema para obter a tensão no nó correspondente ao terminal a; o resultado é V_{th}=V(a) (se b for referência). \n
    Explicação de pontos comuns: \n
  • Se há fontes de tensão conectando dois nós, formamos um supernó e escrevemos KCL para o supernó mais a equação da fonte ligando as tensões. \n
  • Se há fontes dependentes, elas aparecem nas equações normalmente (são expressões em termos de tensões ou correntes do circuito).

Passo 5

Como obter R_{th} (duas abordagens) e quando usar cada uma: \n
Método A — fontes independentes apenas: \n
  1. Desligue todas as fontes independentes: substitua cada fonte de tensão ideal por curto (fio) e cada fonte de corrente independente por circuito aberto. \n
  2. Calcule a resistência equivalente vista entre a e b usando reduções de resistores ou método de nós (aplicando uma fonte de teste também ajuda). \n
  3. O valor obtido é R_{th}. \n
    Método B — circuito com fontes dependentes (ou para segurança): \n
  4. Deixe as fontes dependentes intactas. Conecte entre a e b uma fonte de teste conhecida, por exemplo uma tensão V_{test} (pode escolher V_{test}=1\\ \text{V} para simplificar). \n
  5. Use o método dos nós para encontrar a corrente I_{test} fornecida por essa fonte de teste (considere polaridade e sinais). \n
  6. Então R_{th}=\frac{V_{test}}{I_{test}}. \n
Dica prática: escolher V_{test}=1 faz R_{th}=1/I_{test}, ou escolher I_{test}=1 faz R_{th}=V_{test}.

Passo 6

Como tratar fontes dependentes com o Método dos Nós (detalhe importante): \n
  • Fontes dependentes geram equações adicionais porque a sua expressão depende de alguma tensão ou corrente do circuito. Por exemplo, uma fonte controlada de tensão pode ser \alpha V_x, onde V_x é uma tensão entre dois pontos do circuito. \n
  • Ao montar as equações nodais, represente a fonte dependente pela expressão que a define (em TeX: se a fonte vale k\cdot V_p, coloque esse termo onde a fonte aparece). \n
  • Se houver fontes dependentes conectadas entre nós, pode ser necessário formar um supernó e adicionar a relação que define a fonte dependente como equação extra. \n
  • Para calcular R_{th} com dependentes, use o método da fonte de teste descrito no Passo 5.

Passo 7

Exemplo didático completo (ilustrativo — este é um exemplo inventado para ensinar; não é a resolução do seu exercício 9.48 porque o circuito não foi fornecido): \n
Considere o circuito com uma fonte de tensão independente V_s=12\\ \text{V} em série com R_1=2\,\text{k}\Omega e R_2=3\,\text{k}\Omega. Queremos o Thévenin visto nos terminais de R_2 (ou seja, retirar R_2 e achar equivalente entre os terminais que ficariam onde R_2 estava). \n
Passos: \n
  • Para achar V_{th}: abra R_2 (circuito aberto) e calcule a tensão no nó entre R_1 e R_2. Como é série com a fonte, V_{th} é a divisão de tensão: V_{th}=V_s\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}. Substituindo V_{th}=12\cdot\frac{3}{2+3}=12\cdot\frac{3}{5}=7,2\\ \text{V}. \n
  • Para achar R_{th}: desligue a fonte de tensão (substitua por curto). Assim R_1 fica em paralelo com R_2 visto entre os terminais (porque ambos ficam conectados ao mesmo nó após o curto). Então R_{th} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} = \frac{2\cdot3}{2+3}\,\text{k}\Omega = \frac{6}{5}\,\text{k}\Omega = 1,2\,\text{k}\Omega. \n
  • Então o equivalente de Thévenin é uma fonte de 7,2\\ \text{V} em série com 1,2\,\text{k}\Omega. \n
    Observação: eu usei esse exemplo só para mostrar como aplicar o método dos nós / divisor de tensão e como desligar fontes para R_{th}. Não apliquei nada ao exercício 9.48 original porque não recebi o circuito original.

Passo 8

Exemplo com fonte dependente (como agir com fonte de teste): \n
Considere agora um circuito (exemplo pedagógico) onde uma fonte dependente de tensão vale 2\cdot V_x, sendo V_x a tensão em algum resistor do circuito. Para achar R_{th} entre a e b: \n
  1. Conecte V_{test}=1\\ \text{V} entre a e b com polaridade conhecida. \n
  2. Monte as equações nodais incluindo a expressão da fonte dependente (por exemplo, a tensão imposta pela dependente aparece numa equação do supernó). \n
  3. Resolva o sistema obtendo I_{test}. \n
  4. Calcule R_{th}=1/I_{test}. \n
    Isto garante que a presença da fonte dependente seja corretamente considerada no cálculo de R_{th}.

Passo 9

Resumo do procedimento concreto que você deve aplicar ao exercício 9.48 (se tivesse o circuito): \n
  1. Identificar terminais a e b. \n
  2. Calcular V_{th} abrindo os terminais e usando método dos nós (escrever KCL, usar condutâncias, resolver as tensões nodais). \n
  3. Calcular R_{th}: se só houver fontes independentes, desligá‑las e calcular resistência equivalente; se houver fontes dependentes, aplicar fonte de teste e usar nodal para obter I_{test} e fazer R_{th}=V_{test}/I_{test}. \n
  4. Montar o equivalente: fonte V_{th} em série com R_{th}. \n
    Se você quiser, posso aplicar exatamente este passo a passo ao circuito do exercício 9.48 — mas para isso é imprescindível receber a figura do circuito (ou a descrição completa dos elementos e ligações). Como a figura/descrição não foi fornecida, não dá para calcular valores numéricos agora.

Resposta

Não é possível determinar o equivalente de Thévenin porque o enunciado não forneceu o circuito (figura ou descrição com valores) necessário para calcular V_{th} e R_{th}.

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