9.49 Determine o Equivalente de Thévenin, utilizando o Método dos Nós.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o equivalente de Thévenin visto entre os terminais
e
(onde
é o fio inferior, referência). Eu peguei os dados da imagem/tabela do enunciado: há um gerador independente
ligado em série a um resistor de
(entre o topo do gerador e o nó à direita desse resistor), em seguida há um elemento com impedância
(capacitor) entre esse nó esquerdo e o nó direito que é o terminal
. Do nó esquerdo para o terra há uma fonte de tensão dependente vertical marcada
(mais no nó, menos no terra). Do nó direito (
) para o terra há um resistor de
com a tensão
marcada (positivo no nó, negativo no terra). Do nó direito para o terra também há uma fonte de corrente dependente, com seta para baixo e rótulo
. O capacitor entre os nós esquerdo e direito tem a corrente que chamei de
.
Informações relevantes (retiradas da imagem):
Informações relevantes (retiradas da imagem):
- Resistor série:
. - Impedância do capacitor:
. - Resistor entre
e terra: . - Fonte de tensão dependente entre o nó esquerdo e terra:
(positiva no nó). - Fonte de corrente dependente entre
e terra: corrente para baixo igual a . - Terminal
é o nó direito; terminal é o terra (referência).
Variáveis que usarei:
-
: tensão do nó esquerdo (nó entre o resistor e o capacitor) em relação ao terra. -
: tensão do nó direito (terminal ) em relação ao terra — também é a tensão indicada da imagem. -
: corrente pelo capacitor, definida como a corrente do nó esquerdo para o nó direito; portanto, com impedância ,
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
- Método dos nós: escolhe-se um nó de referência (aqui o fio inferior,
), e escreve-se a Lei de Correntes de Kirchhoff (KCL) em cada nó desconhecido: a soma algébrica das correntes que saem do nó é zero. - Corrente através de um elemento ôhmico/complexo entre dois nós é dada por uma versão da Lei de Ohm:
- Para um capacitor representado por uma impedância
, a corrente do nó 1 para o nó 2 é . - Fontes dependentes: permanecem ativas ao calcular
(não se desativam). Fontes de tensão que ligam um nó ao terra impõem uma relação de tensão entre esse nó e o terra; aqui a fonte dependente vertical impõe
Isso é uma equação extra (uma restrição de tensão) que substitui uma equação KCL para esse nó, ou que reduz a quantidade de incógnitas.
- Para encontrar
(tensão de circuito aberto) calculamos com os terminais - abertos. Para encontrar (ou se houver reatância), a maneira segura quando há fontes dependentes é: anular as fontes independentes (curto-circuitar fontes de tensão independentes, abrir fontes de corrente independentes) e aplicar uma fonte de teste nos terminais para determinar a corrente ; então
Vou aplicar exatamente isso.
Passo 3
Cálculo da tensão de circuito aberto
.
- Em circuito aberto os terminais
e estão sem carga; o resistor de continua entre e terra (ele não é removido no aberto). Vou escrever a KCL no nó direito (nó , tensão ). As correntes que saem do nó são: - Pela resistência
para o terra: . - Pela fonte de corrente dependente: a fonte empurra para baixo uma corrente de valor
. Essa corrente é uma corrente que sai do nó (sentido para o terra), então contribui como nas correntes que saem do nó. - Pela ramificação do capacitor para o nó esquerdo: a corrente que sai de
para o nó esquerdo vale
- Pela resistência
- Assim, a KCL no nó
(soma das correntes que saem = 0) dá:
- Lembre que defini
como a corrente do nó esquerdo para o nó direito:
Portanto
- Substituindo na KCL:
Os termos
cancelam, sobrando
- Daí vem imediatamente
Ou seja, a interação entre a corrente do capacitor e a fonte de corrente dependente anula as contribuições mútua e o único caminho para terra através do resistor
força
no circuito com a fonte
presente.
Passo 4
Conclusão do circuito aberto:
Comentário amigável: parece estranho à primeira vista, mas faz sentido — para circuito aberto a fonte de corrente dependente retira exatamente a corrente que o capacitor entrega, isolando o nó do restante, então o nó direito fica a zero volt.
Passo 5
Cálculo de
(resistência de Thévenin). Vou usar o método da fonte de teste porque há fonte dependente no circuito:
- Anulo a fonte independente
(curto-circuito de ). Assim o ponto à esquerda do resistor fica conectado ao terra. - Insiro uma fonte de teste de tensão
entre o terminal e o terra (positivo em ), e calculo a corrente fornecida por essa fonte . Então
- As relações de dependência continuam válidas: a fonte de tensão dependente impõe
e a corrente do capacitor é
- Agora, com
(a fonte de teste impõe isso), faço KCL no nó . A corrente que a fonte de teste fornece para o nó é igual à soma das correntes que deixam o nó pelas outras três ramificações:
Em expressões:
- Mas como antes
. Logo, os termos com se cancelam:
- Substituindo
:
- Portanto
Passo 6
Interpretação final: o nó direito (terminal
) fica, para efeito de equivalência de Thévenin, equivalente a uma fonte nula (curto) em série com
. Em outras palavras, o circuito visto nos terminais
-
é equivalente a uma resistência de
ligada ao terra (ou a uma fonte de Thévenin de
em série com
).