9.49 Determine o Equivalente de Thévenin, utilizando o Método dos Nós.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o equivalente de Thévenin visto entre os terminais a e b (onde b é o fio inferior, referência). Eu peguei os dados da imagem/tabela do enunciado: há um gerador independente V_s ligado em série a um resistor de 1{,}000\\ \Omega (entre o topo do gerador e o nó à direita desse resistor), em seguida há um elemento com impedância -j250\\ \Omega (capacitor) entre esse nó esquerdo e o nó direito que é o terminal a. Do nó esquerdo para o terra há uma fonte de tensão dependente vertical marcada 4V_2 (mais no nó, menos no terra). Do nó direito ( a) para o terra há um resistor de 50\\ \Omega com a tensão V_2 marcada (positivo no nó, negativo no terra). Do nó direito para o terra também há uma fonte de corrente dependente, com seta para baixo e rótulo I_\delta. O capacitor entre os nós esquerdo e direito tem a corrente que chamei de I_\delta.
Informações relevantes (retiradas da imagem):
  • Resistor série: 1{,}000\\ \Omega.
  • Impedância do capacitor: -j250\\ \Omega.
  • Resistor entre a e terra: 50\\ \Omega.
  • Fonte de tensão dependente entre o nó esquerdo e terra: 4V_2 (positiva no nó).
  • Fonte de corrente dependente entre a e terra: corrente para baixo igual a I_\delta.
  • Terminal a é o nó direito; terminal b é o terra (referência).
Variáveis que usarei:
  • V_1: tensão do nó esquerdo (nó entre o resistor 1{,}000\\ \Omega e o capacitor) em relação ao terra.
  • V_2: tensão do nó direito (terminal a) em relação ao terra — também é a tensão indicada V_2 da imagem.
  • I_\delta: corrente pelo capacitor, definida como a corrente do nó esquerdo para o nó direito; portanto, com impedância -j250\\ \Omega,
I_\delta=\frac{V_1-V_2}{-j250}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
  • Método dos nós: escolhe-se um nó de referência (aqui o fio inferior, b), e escreve-se a Lei de Correntes de Kirchhoff (KCL) em cada nó desconhecido: a soma algébrica das correntes que saem do nó é zero.
  • Corrente através de um elemento ôhmico/complexo entre dois nós é dada por uma versão da Lei de Ohm:
\text{corrente}=\frac{\text{tensão no nó} - \text{tensão no outro nó}}{\text{impedância}}.ãóãóâ
  • Para um capacitor representado por uma impedância Z_C=-j250\\ \Omega, a corrente do nó 1 para o nó 2 é \dfrac{V_1-V_2}{-j250}.
  • Fontes dependentes: permanecem ativas ao calcular R_{th} (não se desativam). Fontes de tensão que ligam um nó ao terra impõem uma relação de tensão entre esse nó e o terra; aqui a fonte dependente vertical impõe
V_1=4V_2.
Isso é uma equação extra (uma restrição de tensão) que substitui uma equação KCL para esse nó, ou que reduz a quantidade de incógnitas.
  • Para encontrar V_{Th} (tensão de circuito aberto) calculamos V_2 com os terminais a- b abertos. Para encontrar R_{Th} (ou Z_{Th} se houver reatância), a maneira segura quando há fontes dependentes é: anular as fontes independentes (curto-circuitar fontes de tensão independentes, abrir fontes de corrente independentes) e aplicar uma fonte de teste V_t nos terminais para determinar a corrente I_t; então
R_{Th}=\frac{V_t}{I_t}.
Vou aplicar exatamente isso.

Passo 3

Cálculo da tensão de circuito aberto V_{oc}=V_{Th}.
  • Em circuito aberto os terminais a e b estão sem carga; o resistor de 50\\ \Omega continua entre a e terra (ele não é removido no aberto). Vou escrever a KCL no nó direito (nó a, tensão V_2). As correntes que saem do nó a são:
    • Pela resistência 50\\ \Omega para o terra: \dfrac{V_2-0}{50}=\dfrac{V_2}{50}.
    • Pela fonte de corrente dependente: a fonte empurra para baixo uma corrente de valor I_\delta. Essa corrente é uma corrente que sai do nó a (sentido para o terra), então contribui como +I_\delta nas correntes que saem do nó.
    • Pela ramificação do capacitor para o nó esquerdo: a corrente que sai de a para o nó esquerdo vale
    \frac{V_2-V_1}{-j250}.
  • Assim, a KCL no nó a (soma das correntes que saem = 0) dá:
\frac{V_2}{50}+I_\delta+\frac{V_2-V_1}{-j250}=0.
  • Lembre que defini I_\delta como a corrente do nó esquerdo para o nó direito:
I_\delta=\frac{V_1-V_2}{-j250}.
Portanto
\frac{V_2-V_1}{-j250} = -I_\delta.
  • Substituindo na KCL:
\frac{V_2}{50}+I_\delta + \bigl(-I_\delta\bigr)=0.
Os termos I_\delta cancelam, sobrando
\frac{V_2}{50}=0.
  • Daí vem imediatamente
V_2=0.
Ou seja, a interação entre a corrente do capacitor e a fonte de corrente dependente anula as contribuições mútua e o único caminho para terra através do resistor 50\\ \Omega força V_2=0 no circuito com a fonte V_s presente.

Passo 4

Conclusão do circuito aberto:
V_{Th}=V_{oc}=V_2=0.
Comentário amigável: parece estranho à primeira vista, mas faz sentido — para circuito aberto a fonte de corrente dependente retira exatamente a corrente que o capacitor entrega, isolando o nó do restante, então o nó direito fica a zero volt.

Passo 5

Cálculo de R_{Th} (resistência de Thévenin). Vou usar o método da fonte de teste porque há fonte dependente no circuito:
  • Anulo a fonte independente V_s (curto-circuito de V_s). Assim o ponto à esquerda do resistor 1{,}000\\ \Omega fica conectado ao terra.
  • Insiro uma fonte de teste de tensão V_t entre o terminal a e o terra (positivo em a), e calculo a corrente fornecida por essa fonte I_t. Então
R_{Th}=\frac{V_t}{I_t}.
  • As relações de dependência continuam válidas: a fonte de tensão dependente impõe
V_1=4V_2,
e a corrente do capacitor é
I_\delta=\frac{V_1-V_2}{-j250}.
  • Agora, com V_2=V_t (a fonte de teste impõe isso), faço KCL no nó a. A corrente I_t que a fonte de teste fornece para o nó é igual à soma das correntes que deixam o nó pelas outras três ramificações:
I_t=\text{(corrente pelo }50\\ \Omega)\\\ +\\ \text{(corrente da fonte dependente para baixo)}\\\ +\\ \text{(corrente pelo capacitor para o nó esquerdo)}.ó
Em expressões:
I_t=\frac{V_2}{50} + I_\delta + \frac{V_2-V_1}{-j250}.
  • Mas como antes \dfrac{V_2-V_1}{-j250} = -I_\delta. Logo, os termos com I_\delta se cancelam:
I_t=\frac{V_2}{50} + I_\delta - I_\delta = \frac{V_2}{50}.
  • Substituindo V_2=V_t:
I_t=\frac{V_t}{50}.
  • Portanto
R_{Th}=\frac{V_t}{I_t}=\frac{V_t}{V_t/50}=50\\ \Omega.

Passo 6

Interpretação final: o nó direito (terminal a) fica, para efeito de equivalência de Thévenin, equivalente a uma fonte nula (curto) em série com 50\\ \Omega. Em outras palavras, o circuito visto nos terminais a- b é equivalente a uma resistência de 50\\ \Omega ligada ao terra (ou a uma fonte de Thévenin de 0\\ \text{V} em série com 50\\ \Omega).

Resposta

V_{Th}=0 V
R_{Th}=50\\ \Omega

Exercícios relacionados