Neste conversor boost, a tensão elétrica de entrada varia em uma faixa de 9 V a 15 V . Para cada valor de entrada, a taxa de ciclo útil
é ajustada para manter a tensão elétrica de saída constante em seu valor nominal (com
e
). Calcule o valor mínimo da indutância
que manterá o conversor no modo de condução contínua em
sob todos os valores de a tensão de entrada
.
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
- Pedido: calcular o valor mínimo da indutância
que garante que o conversor boost opere em modo de condução contínua (CCM) para toda a faixa de tensão de entrada. - Dados do enunciado:
- Faixa de tensão de entrada:
. - Em condição nominal:
e . - Potência de saída:
. - O ciclo útil
é ajustado para manter a tensão de saída constante (ou seja, é fixo e dado indiretamente pela condição nominal).
- Faixa de tensão de entrada:
- Observação importante: o enunciado não fornece a frequência de comutação
. A resposta final ficará em função de (unidade: Hz). Se você tiver um valor de , basta substituir para obter numérico.
Passo 2
Determinar a tensão de saída
usando a condição nominal dada (explicando a fórmula do conversor boost).
- Em um conversor boost ideal, a relação entre tensão de saída, tensão de entrada e ciclo útil é
Explicando:
é a tensão no capacitor de saída,
é a tensão de entrada e
é o ciclo útil (fração do período em que o interruptor está ligado). Essa fórmula vem da média de tensões durante um ciclo em regime estacionário para o boost ideal.
- Usando a condição nominal
e ,
Portanto
(valor fixo para toda a faixa de
).
Passo 3
Expressar o ciclo útil
em função de
e
.
- Isolando
da relação do boost:
Explicando: para manter
fixo, o controlador ajusta
de acordo com
. Aqui
já conhecido.
Passo 4
Relacionar corrente média do indutor com a potência de saída (explicando conservação de potência ideal).
- Em regime ideal (sem perdas), a potência de entrada é igual à potência de saída:
- A corrente média do indutor
é a corrente de entrada média . Assim
Explicando: o indutor fornece a corrente que entra no conversor, e em regime estacionário a potência que entra é a potência que sai (ideal), então dividir potência por tensão de entrada dá a corrente média de entrada/indutor.
Passo 5
Expressar a variação de corrente do indutor
durante um ciclo e escrever a condição de CCM.
- Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração
, onde é o período), a tensão sobre o indutor é aproximadamente . Assim a rampa de subida da corrente tem amplitude
Explicando:
rearranjado dá
. Aqui
.
- Condição de CCM: a corrente mínima do indutor
deve ser maior que zero. Com forma triangular aproximada,
Isto implica
Passo 6
Substituir as expressões em
e isolar
.
- Substituindo
e :
- Isolando
:
Explicando: multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
para obter
.
Passo 7
Substituir
e obter a expressão dependente só de
.
- Substituindo:
- Definindo a função do numerador que interessa maximizar sobre a faixa de
:
Explicando: para garantir CCM para toda a faixa de
,
deve ser maior que o máximo dessa fração ao longo de
. Ou seja, precisamos achar o maior valor de
no intervalo.
Passo 8
Determinar o máximo de
no intervalo dado (cálculo do ponto crítico).
- Derivando
em relação a :
- Zeros de
: (irrelevante) ou , que dá
- Com
(obtido no Passo 2),
que está dentro do intervalo
. Assim
atinge seu máximo no ponto crítico
.
Passo 9
Calcular o valor máximo de
e obter
simplificado.
- Avaliando
no ponto crítico:
- Substituindo esse
na condição para :
- Agora substituir
e :
Explicando: o resultado está em função de
(Hz). Se você souber
, substitua e obterá
em henries. Por exemplo, para
,
Para
dá
.