Neste conversor boost, a tensão elétrica de entrada varia em uma faixa de 9 V a 15 V . Para cada valor de entrada, a taxa de ciclo útil D_{A} é ajustada para manter a tensão elétrica de saída constante em seu valor nominal (com V_{\text {in }}=12 \mathrm{~V} e D_{A}=0,4 ). Calcule o valor mínimo da indutância L que manterá o conversor no modo de condução contínua em P_{\text {out }}=5 \mathrm{~W} sob todos os valores de a tensão de entrada V_{\text {in }}.

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular o valor mínimo da indutância L que garante que o conversor boost opere em modo de condução contínua (CCM) para toda a faixa de tensão de entrada.
  • Dados do enunciado:
    • Faixa de tensão de entrada: \,V_{\text{in}}\in[9\\ \text{V},\,15\\ \text{V}].
    • Em condição nominal: \,V_{\text{in}}=12\\ \text{V} e \,D_A=0{,}4.
    • Potência de saída: \,P_{\text{out}}=5\\ \text{W}.
    • O ciclo útil D_A é ajustado para manter a tensão de saída constante (ou seja, V_{\text{out}} é fixo e dado indiretamente pela condição nominal).
  • Observação importante: o enunciado não fornece a frequência de comutação f. A resposta final ficará em função de f (unidade: Hz). Se você tiver um valor de f, basta substituir para obter L_{\min} numérico.

Passo 2

Determinar a tensão de saída V_{\text{out}} usando a condição nominal dada (explicando a fórmula do conversor boost).
  • Em um conversor boost ideal, a relação entre tensão de saída, tensão de entrada e ciclo útil é
V_{\text{out}}=\frac{V_{\text{in}}}{1-D}.
Explicando: V_{\text{out}} é a tensão no capacitor de saída, V_{\text{in}} é a tensão de entrada e D é o ciclo útil (fração do período em que o interruptor está ligado). Essa fórmula vem da média de tensões durante um ciclo em regime estacionário para o boost ideal.
  • Usando a condição nominal \,V_{\text{in}}=12\\ \text{V} e \,D=0{,}4,
V_{\text{out}}=\frac{12}{1-0{,}4}=\frac{12}{0{,}6}=20\\ \text{V}.
Portanto V_{\text{out}}=20\\ \text{V} (valor fixo para toda a faixa de V_{\text{in}}).

Passo 3

Expressar o ciclo útil D em função de V_{\text{in}} e V_{\text{out}}.
  • Isolando D da relação do boost:
D=1-\frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}.
Explicando: para manter V_{\text{out}} fixo, o controlador ajusta D de acordo com V_{\text{in}}. Aqui V_{\text{out}}=20\\ \text{V} já conhecido.

Passo 4

Relacionar corrente média do indutor com a potência de saída (explicando conservação de potência ideal).
  • Em regime ideal (sem perdas), a potência de entrada é igual à potência de saída:
P_{\text{in}}=P_{\text{out}}.
  • A corrente média do indutor I_{L,\text{avg}} é a corrente de entrada média I_{\text{in}}. Assim
I_{L,\text{avg}}=I_{\text{in}}=\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}.
Explicando: o indutor fornece a corrente que entra no conversor, e em regime estacionário a potência que entra é a potência que sai (ideal), então dividir potência por tensão de entrada dá a corrente média de entrada/indutor.

Passo 5

Expressar a variação de corrente do indutor \Delta I_L durante um ciclo e escrever a condição de CCM.
  • Durante o tempo em que o interruptor está ligado (duração D\cdot T_s, onde T_s=1/f é o período), a tensão sobre o indutor é aproximadamente V_{\text{in}}. Assim a rampa de subida da corrente tem amplitude
\Delta I_L = \frac{V_{\text{in}}}{L}\cdot D\cdot T_s = \frac{V_{\text{in}}D}{L f}.
Explicando: V=L\frac{di}{dt} rearranjado dá \Delta i = (V/L)\Delta t. Aqui \Delta t = D T_s = D/f.
  • Condição de CCM: a corrente mínima do indutor I_{L,\min} deve ser maior que zero. Com forma triangular aproximada,
I_{L,\min}=I_{L,\text{avg}}-\frac{\Delta I_L}{2}>0.
Isto implica
\Delta I_L < 2 I_{L,\text{avg}}.

Passo 6

Substituir as expressões em \Delta I_L < 2 I_{L,\text{avg}} e isolar L.
  • Substituindo \Delta I_L e I_{L,\text{avg}}:
\frac{V_{\text{in}}D}{L f} < 2\cdot\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}.
  • Isolando L:
L > \frac{V_{\text{in}}^2 D}{2 f P_{\text{out}}}.
Explicando: multiplicamos ambos os lados por L f e dividimos por 2P_{\text{out}} para obter L>\cdots.

Passo 7

Substituir D=1-\dfrac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}} e obter a expressão dependente só de V_{\text{in}}.
  • Substituindo:
L > \frac{V_{\text{in}}^2\left(1-\dfrac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}\right)}{2 f P_{\text{out}}}.
  • Definindo a função do numerador que interessa maximizar sobre a faixa de V_{\text{in}}:
g(V_{\text{in}})=V_{\text{in}}^2\left(1-\frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}\right).
Explicando: para garantir CCM para toda a faixa de V_{\text{in}}, L deve ser maior que o máximo dessa fração ao longo de V_{\text{in}}\in[9,15]. Ou seja, precisamos achar o maior valor de g(V_{\text{in}}) no intervalo.

Passo 8

Determinar o máximo de g(V_{\text{in}}) no intervalo dado (cálculo do ponto crítico).
  • Derivando g em relação a V_{\text{in}}:
g'(V_{\text{in}})=2V_{\text{in}}-\frac{3V_{\text{in}}^2}{V_{\text{out}}}=V_{\text{in}}\left(2-\frac{3V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}\right).
  • Zeros de g': V_{\text{in}}=0 (irrelevante) ou 2-\dfrac{3V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}=0, que dá
V_{\text{in}}=\frac{2}{3}V_{\text{out}}.
  • Com V_{\text{out}}=20\\ \text{V} (obtido no Passo 2),
V_{\text{in,crit}}=\frac{2}{3}\cdot 20=13{,}333\ldots\\ \text{V},
que está dentro do intervalo [9,15]. Assim g atinge seu máximo no ponto crítico V_{\text{in}}=\tfrac{2}{3}V_{\text{out}}.

Passo 9

Calcular o valor máximo de g(V_{\text{in}}) e obter L_{\min} simplificado.
  • Avaliando g no ponto crítico:
g_{\max}=g\!\left(\frac{2}{3}V_{\text{out}}\right)=\left(\frac{2}{3}V_{\text{out}}\right)^2\left(1-\frac{2}{3}\right) =\frac{4}{9}V_{\text{out}}^2\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{27}V_{\text{out}}^2.
  • Substituindo esse g_{\max} na condição para L:
L_{\min}=\frac{g_{\max}}{2 f P_{\text{out}}}=\frac{\dfrac{4}{27}V_{\text{out}}^2}{2 f P_{\text{out}}} =\frac{2 V_{\text{out}}^2}{27 f P_{\text{out}}}.
  • Agora substituir V_{\text{out}}=20\\ \text{V} e P_{\text{out}}=5\\ \text{W}:
L_{\min}=\frac{2\cdot 20^2}{27\; f\; 5}=\frac{800}{135\,f}=\frac{5{,}925926}{f}\\ \text{H}.
Explicando: o resultado está em função de f (Hz). Se você souber f, substitua e obterá L_{\min} em henries. Por exemplo, para f=100\\ \text{kHz}=100000\\ \text{Hz},
L_{\min}=\frac{5{,}925926}{100000}=59{,}26\\ \mu\text{H}.
Para f=50\\ \text{kHz} L_{\min}\approx118{,}5\\ \mu\text{H}.

Resposta

L_{\min}=\frac{2\,V_{\text{out}}^{2}}{27\,f\,P_{\text{out}}}
L_{\min}=\frac{5{,}925926}{f}\\ \text{H}\quad\text{(com }V_{\text{out}}=20\\ \text{V e }P_{\text{out}}=5\\ \text{W)}

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