Em um conversor CC-CA trifásico equilibrado, a tensão elétrica de saída média da fase a é \bar{v}_{a n}(t)=112,5 \sin \left(\omega_{1} t\right) \mathrm{V}, em que V_{\mathrm{d}}=300 \mathrm{~V} e \omega_{1}=2 \pi \cdot 45 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A indutância L em cada fase é 5 mH . A tensão elétrica interna do motor CA na fase A pode ser representada como e_{a}(t)=106,14 \sin \left(\omega_{1} t-6,6^{\circ}\right) \mathrm{V}. Calcule e trace \bar{i}_{\mathrm{d}}(t).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Pede-se calcular e traçar \bar{i}_{\mathrm{d}}(t), a corrente de fase resultante no regime senoidal.
V_{\mathrm{d}}=300\\ \mathrm{V}\quad (\text{não usado diretamente nos cálculos abaixo})
\omega_{1}=2\pi\cdot 45\\ \mathrm{rad/s}
L=5\\ \mathrm{mH}=0{,}005\\ \mathrm{H}
A tarefa é obter a expressão temporal de \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) (forma senoidal com amplitude e defasagem) e apresentar como traçar (descrever a forma do gráfico).
Passo 2
Princípio físico e modelo que vamos usar (explicação didática).
Em cada fase, aplicando a lei das tensões no circuito série formado pela fonte média do conversor, pela indutância de fase e pela tensão interna do motor, obtemos a relação no domínio do tempo:\bar{v}_{an}(t)=e_a(t)+L\frac{di(t)}{dt}.Isso é só KVL: tensão aplicada = tensão interna do motor + queda na indutância.
Para sinais senoidais em regime permanente, é muito prático trabalhar com fasores (nossa “bússola” para senóides): representamos cada senoide por uma magnitude e uma fase. Para uma senoide do tipo A\sin(\omega t+\varphi) associamos o fasor A\angle\varphi.
No domínio dos fasores a derivada vira multiplicação por j\omega. Assim a equação vira:\underline{V}=\underline{E}+j\omega L\\ \underline{I}.Reorganizando para a corrente:\underline{I}=\frac{\underline{V}-\underline{E}}{j\omega L}.Aqui \underline{V} e \underline{E} são os fasores correspondentes às funções no tempo dadas, \omega é \omega_1, e j\omega L é a reatância indutiva (um número imaginário puro).
Passo 3
Converter os dados para fasores e calcular a reatância indutiva X_L=j\omega L.
A reatância indutiva é \;X_L=\omega_1 L. Como L=0{,}005\\ \mathrm{H},X_L=\omega_1 L\approx 282{,}743\times 0{,}005\approx 1{,}4137\\ \Omega.No domínio fasorial usaremos jX_L=j\,1{,}4137\\ \Omega.
Os fasores associados (usando a convenção “amplitude∠fase” para senoides):\underline{V}=112{,}5\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
Dividir por j é o mesmo que multiplicar por -j (porque 1/j=-j). Então:\underline{I}=(7{,}065 + j\,12{,}198)\cdot\frac{-j}{1{,}4137}.
Multiplicando -j por um número complexo (a+jb) dá:-j(a+jb) = -ja - j^2 b = -ja + b = b - j a.Aplicando com a=7{,}065 e b=12{,}198,\underline{I}\approx\frac{12{,}198 - j\,7{,}065}{1{,}4137}.
Agora divida as partes real e imaginária por 1{,}4137:\Re(\underline{I})\approx \frac{12{,}198}{1{,}4137}\approx 8{,}630
Fase (ângulo):\angle \underline{I}=\operatorname{atan2}(-5{,}000,\,8{,}630)\approx -30{,}0^\circ.(Observe que \tan(30^\circ)\approx 0{,}577; aqui -5/8{,}63\approx -0{,}579, resultando em aproximadamente -30^\circ.)
Portanto o fasor da corrente é aproximadamente\underline{I}\approx 9{,}975\angle -30{,}0^\circ\\ \mathrm{A}.
Passo 7
Voltar ao domínio do tempo: escrever \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) e explicar como traçar.
Como usamos a convenção de fasores para senoides, a corrente no tempo é:\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=9{,}975\sin\!\left(\omega_{1}t-30{,}0^\circ\right)\\ \mathrm{A}.
Como traçar (descrição prática):
É uma senoide de amplitude 9{,}975\\ \mathrm{A} e frequência 45\\ \mathrm{Hz} (pois \omega_{1}=2\pi\cdot45).
Ela está atrasada em 30^\circ em relação à referência \sin(\omega_1 t) (ou seja, seu máximo ocorre \tfrac{30^\circ}{360^\circ}\times \tfrac{1}{45\\ \mathrm{Hz}}=\tfrac{1}{12}\times\tfrac{1}{45}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}85\times 10^{-3}\\ \mathrm{s} depois do máximo da referência).
Para desenhar no papel ou software: marque o eixo do tempo, coloque um período T=1/45\approx 0{,}02222\\ \mathrm{s}, e plote uma senoide com pico 9{,}975 e fase deslocada -30^\circ (ou deslocamento de tempo -30^\circ/360^\circ\times T).