9.49 O coeficiente de convecção natural médio nas superfícies externas de um longo duto retangular na posição horizontal exposto a um fluido quiescente pode ser estimado com a correlação de Hahn-Didion (H-D) [ASHRAE Proceedings, Parte 1, pp. 262-67, 1972]:
\overline{N u}_{P}=0,55 R a_{P}^{1 / 4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1 / 8} \quad R a_{P} \leq 10^{7}
na qual o comprimento característico é a metade do perímetro, P=(w +H ), e w e H são, respectivamente, a largura horizontal e a altura vertical do duto. As propriedades termofísicas são calculadas na temperatura do filme.
Considere um duto quadrado, horizontal, com 0,15 \mathrm{~m} de lado e uma temperatura superficial de 35^{\circ} \mathrm{C}, em um ar ambiente a 15^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o coeficiente convectivo médio e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento usando a correlação H-D.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedido: calcular o coeficiente convectivo médio h nas superfícies externas do duto (convecção natural) usando a correlação de Hahn–Didion, e calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento q' (ou seja, W por metro de comprimento do duto).
  • Dados geométricos:
    • duto quadrado com lado w=H=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas:
    • temperatura da superfície T_s=35^\circ\mathrm{C},
    • temperatura do ar ambiente T_\infty=15^\circ\mathrm{C}.
  • Observação importante do enunciado: o comprimento característico para a correlação é a metade do perímetro, definida como P = (w+H).
  • A correlação fornecida (Hahn–Didion) é \overline{Nu}_{P}=0{,}55\,Ra_{P}^{1/4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1/8},válida para Ra_{P}\le 10^{7}.
  • Lembrete: a definição de número de Nusselt com esse comprimento característico é \overline{Nu}_{P}=\frac{h\,P}{k},onde k é a condutividade térmica do fluido (ar) no estado de filme.

Passo 2

Escolha da temperatura de filme e propriedades do ar (valores usados).
  • Temperatura de filme (média superfície/ambiente): T_{f}=\frac{T_{s}+T_{\infty}}{2}=\frac{35+15}{2}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.As propriedades termofísicas do ar são tomadas nessa temperatura de filme.
  • Valores usados (típicos para ar a 25^\circ\mathrm{C}):
    • condutividade térmica: k=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • viscosidade cinemática: \nu=1{,}589\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
    • número de Prandtl: \Pr=0{,}707,
    • coeficiente de expansão térmica (ar ideal): \beta=\dfrac{1}{T_f}=\dfrac{1}{298}\approx 0{,}003356\\ \mathrm{K^{-1}},
    • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A difusividade térmica é \alpha=\frac{\nu}{\Pr}.

Passo 3

Cálculos geométricos iniciais e diferenças de temperatura.
  • Metade do perímetro (comprimento característico pedido): P = w+H = 0{,}15+0{,}15 = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Relação geométrica pedida pela correlação: \frac{H}{P}=\frac{0{,}15}{0{,}30}=0{,}5.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_s - T_\infty = 35 - 15 = 20\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo da difusividade térmica \alpha.
  • Usando \alpha=\dfrac{\nu}{\Pr}: \alpha=\frac{1{,}589\times10^{-5}}{0{,}707}=2{,}247\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Definição e cálculo do número de Rayleigh Ra_{P}.
  • Fórmula do número de Rayleigh usando o comprimento característico P: Ra_{P}=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,P^{3}}{\nu\,\alpha}.
  • Substituindo os valores (vou mostrar os intermediários):
    • P^{3}=(0{,}30)^{3}=0{,}027\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Numerador: g\,\beta\,\Delta T\,P^{3}=9{,}81\cdot 0{,}003356\cdot 20\cdot 0{,}027 \approx 0{,}0177768.
    • Denominador: \nu\,\alpha=(1{,}589\times10^{-5})\cdot(2{,}247\times10^{-5})\approx 3{,}568\times10^{-10}.
    • Logo Ra_{P}=\frac{0{,}0177768}{3{,}568\times10^{-10}}\approx 4{,}98\times10^{7}.
  • Observação importante: este valor de Ra_{P} é aproximadamente 4{,}98\times10^{7}, ou seja, maior que 10^{7}. A correlação H–D foi declarada válida para Ra_{P}\le 10^{7}; portanto o resultado que vamos obter extrapola a faixa de validade da correlação e deve ser tomado como estimativa aproximada. Ainda assim, o problema pediu uso da correlação H–D, então prosseguimos com ela.

Passo 6

Cálculo do número de Nusselt médio \overline{Nu}_{P} pela correlação H–D.
  • A correlação é \overline{Nu}_{P}=0{,}55\,Ra_{P}^{1/4}\left(\frac{H}{P}\right)^{1/8}.
  • Primeiro calculamos cada fator:
    • Ra_{P}^{1/4}=(4{,}98\times10^{7})^{1/4}\approx 8{,}416\times10^{1}=84{,}16.
    • \left(\dfrac{H}{P}\right)^{1/8}=(0{,}5)^{1/8}\approx 0{,}91698.
  • Agora: \overline{Nu}_{P}=0{,}55\cdot 84{,}16\cdot 0{,}91698 \approx 42{,}44.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo médio h.
  • Relação entre \overline{Nu}_{P} e h: \overline{Nu}_{P}=\frac{h\,P}{k}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\overline{Nu}_{P}\,k}{P}.
  • Substituindo números: h=\frac{42{,}44\cdot 0{,}0263}{0{,}30}\approx 3{,}72\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 8

Cálculo da taxa de transferência de calor por unidade de comprimento q'.
  • A área de trocador por unidade de comprimento (área lateral por metro de comprimento) é o perímetro externo total da seção transversal: A'_{\text{por m}}=\text{perímetro total}=2\,(w+H)=2\cdot 0{,}30=0{,}60\\ \mathrm{m\\ (por\\ m\\ de\\ comprimento)}.í(Explicação curta: a superfície lateral exposta por unidade de comprimento é a soma das quatro faces, que dá o perímetro completo 2(w+H).)
  • A taxa de calor por unidade de comprimento é q' = h\,A'_{\text{por m}}\,\Delta T.
  • Substituindo: q' = 3{,}72\cdot 0{,}60\cdot 20 \approx 44{,}6\\ \mathrm{W/m}.

Passo 9

Interpretação final e observação prática.
  • Resultado obtido: h cerca de 3{,}7\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} e q' cerca de 44{,}6\\ \mathrm{W/m}.
  • Lembrete: como calculado no Passo 5, Ra_{P}\approx 4{,}98\times10^{7} é maior do que o limite de validade informado para a correlação ( 10^{7}). Portanto os valores acima são uma estimativa extrapolada pela correlação H–D; para maior rigor poderia-se usar outra correlação válida nessa faixa de Ra ou redimensionar o comprimento característico (seguindo convenções diferentes), mas para a aplicação direta da H–D esses são os valores que resultam.

Resposta

h\approx 3{,}72\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
q'\approx 44{,}6\\ \mathrm{W/m}

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