Exemplo 4: Uma bomba de calor alimentada por um motor elétrico de 0,4 \mathrm{~kW} fornece calor para um edifício num dia onde a temperatura externa do ar está a -10^{\circ} \mathrm{C} e a energia é perdida através das paredes e forro a uma taxa de 16.000 \mathrm{~kJ} / \mathrm{h}. Qual é a máxima temperatura teórica que pode ser mantida dentro do prédio em { }^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Potência elétrica fornecida ao motor da bomba de calor: 0,4\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura externa do ar: -10^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de perda de energia do edifício: 16\,000\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Pergunta: qual é a máxima temperatura teórica que pode ser mantida dentro do prédio, em ^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Convém pôr todas as unidades no mesmo sistema para calcular com tranquilidade. Vou converter a taxa de perda para \mathrm{kW} (que é \mathrm{kJ/s}) e a temperatura externa para Kelvin:
  • Converter 16\,000\\ \mathrm{kJ/h} para \mathrm{kJ/s}:
\frac{16\,000}{3\,600}=\frac{40}{9}\\ \mathrm{kJ/s}=\frac{40}{9}\\ \mathrm{kW}\approx4,444\ldots\\ \mathrm{kW}.
  • Converter a temperatura externa -10^\circ\mathrm{C} para Kelvin:
T_C = -10^\circ\mathrm{C} = 273,15 - 10 = 263,15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Explicar o modelo físico usado (passo didático): para obter a máxima temperatura teórica interna com uma bomba de calor alimentada por trabalho, usamos o coeficiente de desempenho (COP) ideal de Carnot para bomba de calor reversível. Esse COP diz quanto calor Q_H é entregue ao ambiente quente por unidade de trabalho W fornecido, no limite reversível:
\mathrm{COP} \equiv \frac{Q_H}{W} = \frac{T_H}{T_H - T_C},
onde:
  • T_H é a temperatura absoluta (em Kelvin) do interior do edifício (reservatório quente),
  • T_C é a temperatura absoluta (em Kelvin) do exterior (reservatório frio),
  • W é a potência elétrica fornecida (em \mathrm{kW}),
  • Q_H é a potência de calor entregue ao edifício (em \mathrm{kW}).
Observações importantes: as temperaturas na fórmula devem estar em Kelvin; essa é a eficiência máxima teórica (Carnot) — na prática o COP é menor, então o valor que vamos obter é a temperatura máxima teórica.

Passo 4

No regime estacionário, a potência de calor fornecida pela bomba tem de igualar as perdas do edifício. Assim:
Q_H = \dot{Q}_{\text{loss}} = \frac{40}{9}\\ \mathrm{kW}.
Também vale a relação Q_H = W\cdot \mathrm{COP}. Logo o COP necessário é:
\mathrm{COP} = \frac{Q_H}{W} = \frac{\dfrac{40}{9}}{0,4}.
Calcular esse valor exatamente:
\mathrm{COP} = \frac{40}{9}\cdot\frac{1}{0,4} = \frac{40}{9}\cdot\frac{10}{4} = \frac{100}{9}\approx11{,}111\ldots

Passo 5

Agora uso a fórmula do COP de Carnot para encontrar T_H. Partindo de
\mathrm{COP}=\frac{T_H}{T_H-T_C},
faço a álgebra para isolar T_H:
\mathrm{COP}(T_H-T_C)=T_H \quad\Rightarrow\quad \mathrm{COP}\,T_H-\mathrm{COP}\,T_C=T_H,
T_H(\mathrm{COP}-1)=\mathrm{COP}\,T_C \quad\Rightarrow\quad T_H=\frac{\mathrm{COP}\,T_C}{\mathrm{COP}-1}.

Passo 6

Substituo \mathrm{COP}=\dfrac{100}{9} e T_C=263,15\\ \mathrm{K}:
T_H = \frac{\dfrac{100}{9}\cdot 263,15}{\dfrac{100}{9}-1} = \frac{\dfrac{100}{9}\cdot 263,15}{\dfrac{91}{9}} = \frac{100}{91}\cdot 263,15.
Calculo numérico exato por frações:
T_H = \frac{100}{91}\cdot 263,15 = \frac{26\,315}{91}\\ \mathrm{K} \approx 289{,}1758\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_H(^{\circ}\mathrm{C}) = T_H(\mathrm{K}) - 273,15 \approx 289{,}1758 - 273{,}15 = 16{,}0258^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: 16{,}03^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: então, no melhor caso teórico (bomba de calor ideal reversível, sem perdas irreversíveis), com 0,4\\ \mathrm{kW} de entrada e perdas de 16\,000\\ \mathrm{kJ/h}, a temperatura máxima interna que se consegue manter quando a temperatura externa é -10^\circ\mathrm{C} é cerca de 16{,}03^\circ\mathrm{C}. Na prática, como bombas reais têm COP menores, a temperatura real alcançável será menor — mas essa é a cota superior teórica. Força aí, já deu pra ver o raciocínio e a conta é direta na prova!

Resposta

16{,}03^\circ\mathrm{C}

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