Exemplo 4: Uma bomba de calor alimentada por um motor elétrico de
fornece calor para um edifício num dia onde a temperatura externa do ar está a
e a energia é perdida através das paredes e forro a uma taxa de
. Qual é a máxima temperatura teórica que pode ser mantida dentro do prédio em
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Potência elétrica fornecida ao motor da bomba de calor:
. - Temperatura externa do ar:
. - Taxa de perda de energia do edifício:
. - Pergunta: qual é a máxima temperatura teórica que pode ser mantida dentro do prédio, em
?
Passo 2
Convém pôr todas as unidades no mesmo sistema para calcular com tranquilidade. Vou converter a taxa de perda para
(que é
) e a temperatura externa para Kelvin:
- Converter
para :
- Converter a temperatura externa
para Kelvin:
Passo 3
Explicar o modelo físico usado (passo didático): para obter a máxima temperatura teórica interna com uma bomba de calor alimentada por trabalho, usamos o coeficiente de desempenho (COP) ideal de Carnot para bomba de calor reversível. Esse COP diz quanto calor
é entregue ao ambiente quente por unidade de trabalho
fornecido, no limite reversível:
onde:
-
é a temperatura absoluta (em Kelvin) do interior do edifício (reservatório quente), -
é a temperatura absoluta (em Kelvin) do exterior (reservatório frio), -
é a potência elétrica fornecida (em ), -
é a potência de calor entregue ao edifício (em ).
Observações importantes: as temperaturas na fórmula devem estar em Kelvin; essa é a eficiência máxima teórica (Carnot) — na prática o COP é menor, então o valor que vamos obter é a temperatura máxima teórica.
Passo 4
No regime estacionário, a potência de calor fornecida pela bomba tem de igualar as perdas do edifício. Assim:
Também vale a relação
. Logo o COP necessário é:
Calcular esse valor exatamente:
Passo 5
Agora uso a fórmula do COP de Carnot para encontrar
. Partindo de
faço a álgebra para isolar
:
Passo 6
Substituo
e
:
Calculo numérico exato por frações:
Converter para graus Celsius:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
.
Passo 7
Interpretação curta e motivadora: então, no melhor caso teórico (bomba de calor ideal reversível, sem perdas irreversíveis), com
de entrada e perdas de
, a temperatura máxima interna que se consegue manter quando a temperatura externa é
é cerca de
. Na prática, como bombas reais têm COP menores, a temperatura real alcançável será menor — mas essa é a cota superior teórica. Força aí, já deu pra ver o raciocínio e a conta é direta na prova!