3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}=L>0
, então as séries
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{2 n}
e
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{2 n+1}
têm raio de convergência
1 / \sqrt{L}
;

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência de coeficientes \{c_n\} tal que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=L>0
e pede o raio de convergência das duas séries de potências centradas em a: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n} e \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n+1}.
Vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy–Hadamard) para determinar cada raio.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz na série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n}, consideramos o n-ésimo termo
a_n = c_n\,(x-a)^{2n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\;\sqrt[n]{|(x-a)^{2n}|} =L\;\bigl|(x-a)^2\bigr| =L\,|x-a|^2.
Pelo Teste da Raiz, a série converge se este limite for <1, ou seja
L\,|x-a|^2<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a|<\frac{1}{\sqrt{L}}.

Passo 3

Da condição |x-a|<1/\sqrt{L} segue que o raio de convergência da série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n} é
R_1 = \frac{1}{\sqrt{L}}.

Passo 4

Agora aplicamos o Teste da Raiz na série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n+1}. O n-ésimo termo é
b_n = c_n\,(x-a)^{2n+1},
e
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\;\sqrt[n]{|(x-a)^{2n+1}|} =L\;\bigl|(x-a)^2\bigr|\;\lim_{n\to\infty}|x-a|^{1/n} =L\,|x-a|^2\cdot1 =L\,|x-a|^2.
Logo, pelas mesmas razões, a série converge se L\,|x-a|^2<1.

Passo 5

Dessa forma o raio de convergência da série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n+1} também é
R_2 = \frac{1}{\sqrt{L}}.

Resposta

Verdadeiro.

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