3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}=L>0
, então as séries \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{2 n}
e \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{2 n+1}
têm raio de convergência 1 / \sqrt{L}
;
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência de coeficientes \{c_n\} tal que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=L>0
e pede o raio de convergência das duas séries de potências centradas em a: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n} e \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n+1}.
Vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy–Hadamard) para determinar cada raio.
Passo 2
Aplicando o Teste da Raiz na série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^{2n}, consideramos o n-ésimo termo