3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se a série
\sum c_{n} x^{n}
converge em x=2, então ela converge em x=3;

Passo 1

O enunciado diz: “Se a série de potências \displaystyle\sum c_{n}x^{n} converge em x=2, então ela converge em x=3”. O conteúdo envolve raio de convergência de séries de potências e precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa, justificando.

Passo 2

Para qualquer série de potências \displaystyle\sum c_{n}x^{n} existe um raio de convergência R tal que:
\text{a série converge se }|x|<R \quad\text{e diverge se }|x|>R.é
No caso de |x|=R, a convergência depende dos termos c_n e deve ser verificada à parte.

Passo 3

Se a série converge em x=2, isso significa que |2| está dentro do intervalo de convergência, ou seja,
2 < R \quad\Longrightarrow\quad R \ge 2.

Passo 4

Para que a série também convergisse em x=3, precisaríamos de
3 < R \quad\Longrightarrow\quad R \ge 3.
Mas do fato R \ge 2 não podemos deduzir R \ge 3. Logo, a afirmação geral é falsa.

Passo 5

Contraexemplo prático: defina c_{n} = \tfrac{1}{3^{n}}.
– Em x=2 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}2^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n},
que é uma progressão geométrica com razão \tfrac{2}{3} e portanto converge.
– Em x=3 temos
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}3^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}1
que diverge. Assim a série converge em x=2 mas não em x=3.

Resposta

Falso.

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