3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se
é o raio de convergência da série
, então
é também o raio de convergência da série
.
se
, então
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que a série de potências
tem raio de convergência
, então a série
também tem raio de convergência igual a
. O conteúdo é séries de potências e uso da fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência.
Passo 2
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência
da série
é dado por
Passo 3
Na nova série podemos ver que
Se chamarmos os coeficientes dessa nova série de
, então
para
e
para
. Logo
Passo 4
Pelo mesmo critério de Cauchy–Hadamard, o raio
da série
satisfaz
Portanto, o raio de convergência continua sendo
.
Resposta
Verdadeiro.