3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se R>0 é o raio de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}
, então R é também o raio de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n+p}
.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}
tem raio de convergência R>0, então a série
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n+p}
também tem raio de convergência igual a R. O conteúdo é séries de potências e uso da fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência.

Passo 2

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência R da série \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} é dado por
R \;=\;\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert c_{n}\rvert}}.

Passo 3

Na nova série podemos ver que
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n+p} = (x-a)^{p}\,\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}.
Se chamarmos os coeficientes dessa nova série de b_{m}, então b_{m}=0 para m<p e b_{m}=c_{m-p} para m\ge p. Logo
\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{\lvert b_{m}\rvert} =\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{\lvert c_{m-p}\rvert} =\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert c_{k}\rvert}.

Passo 4

Pelo mesmo critério de Cauchy–Hadamard, o raio R' da série \sum b_{m}(x-a)^{m} satisfaz
R'=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{\lvert b_{m}\rvert}} =\frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert c_{k}\rvert}} =R.
Portanto, o raio de convergência continua sendo R.

Resposta

Verdadeiro.

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