3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}
pode convergir apenas em dois valores de x.

Passo 1

O enunciado pergunta se uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}
pode convergir apenas em dois valores de x. O conteúdo envolve o conceito de raio de convergência de séries de potências e a forma do seu conjunto de convergência.

Passo 2

Sabemos que toda série de potências centrada em zero tem um raio de convergência R\in[0,\infty] tal que:
\text{converge para }|x|<R,
\text{diverge para }|x|>R,
e nos pontos x=\pm R a convergência pode ou não ocorrer, mas são no máximo dois casos de fronteira.

Passo 3

Analisando os possíveis valores de R:
  1. Se R=0, a série converge apenas em x=0 (um único ponto).
  2. Se 0<R<\infty, a série converge em todo o intervalo -R<x<R (infinitos valores de x), podendo estender-se ou não a x=\pm R.
  3. Se R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R} (novamente infinitos valores).

Passo 4

Em nenhum desses casos obtemos exatamente dois pontos de convergência:
  • para R=0 temos um ponto,
  • para 0<R\le\infty temos um intervalo (infinitos pontos),
  • os pontos de fronteira adicionam no máximo dois pontos extras a esse intervalo, mas ele já contém infinitos pontos no interior.

Resposta

Falso.

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