3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
.
uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
Passo 1
O enunciado pergunta se uma série de potências
pode convergir apenas em dois valores de
. O conteúdo envolve o conceito de raio de convergência de séries de potências e a forma do seu conjunto de convergência.
Passo 2
Sabemos que toda série de potências centrada em zero tem um raio de convergência
tal que:
e nos pontos
a convergência pode ou não ocorrer, mas são no máximo dois casos de fronteira.
Passo 3
Analisando os possíveis valores de
:
- Se
, a série converge apenas em (um único ponto). - Se
, a série converge em todo o intervalo (infinitos valores de ), podendo estender-se ou não a . - Se
, a série converge para todo (novamente infinitos valores).
Passo 4
Em nenhum desses casos obtemos exatamente dois pontos de convergência:
- para
temos um ponto, - para
temos um intervalo (infinitos pontos), - os pontos de fronteira adicionam no máximo dois pontos extras a esse intervalo, mas ele já contém infinitos pontos no interior.
Resposta
Falso.