1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(l) se uma seqüência an diverge, então |an| também diverge;

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que “se uma sequência an diverge, então a sequência dos módulos lvert anrvert também diverge”. Vamos usar o conceito de convergência e divergência de sequências e, em caso de afirmação falsa, apresentar um contra-exemplo.

Passo 2

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar uma sequência an que não tenha limite, mas cuja sequência dos módulos seja convergente. Considere
an = (-1)^n

Passo 3

Verificamos que an diverge porque as subsequências de índices pares e ímpares têm limites diferentes:
limktoinftya2k=1 e limktoinftya2k+1=-1,
logo não existe limntoinftyan.

Passo 4

Por outro lado, para todo n temos
lvert anrvert = lvert (-1)^nrvert = 1,
então lvert anrvert é a sequência constante 1, que converge para 1.

Resposta

A afirmação é falsa. Contra-exemplo: an = (-1)^n, pois an diverge mas lvert anrvert converge.

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