1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(l) se uma seqüência
diverge, então
também diverge;
(l) se uma seqüência
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que “se uma sequência
diverge, então a sequência dos módulos
também diverge”. Vamos usar o conceito de convergência e divergência de sequências e, em caso de afirmação falsa, apresentar um contra-exemplo.
Passo 2
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar uma sequência
que não tenha limite, mas cuja sequência dos módulos seja convergente. Considere
Passo 3
Verificamos que
diverge porque as subsequências de índices pares e ímpares têm limites diferentes:
logo não existe
.
Passo 4
Por outro lado, para todo
temos
então
é a sequência constante
, que converge para
.
Resposta
A afirmação é falsa. Contra-exemplo:
, pois
diverge mas
converge.