1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(s) se an neq 0, forall n, e lim n infty|an+1an|=l<1, então lim n infty an=0

Passo 1

O enunciado trata de sequências (an) não nulas, em que
limntoinfty|an+1an| = l < 1,
e pede para decidir se necessariamente limntoinftyan=0. O conteúdo envolve o teste da razão aplicado a sequências.

Passo 2

Como limntoinftyl|an+1/anr|=l<1, podemos escolher um r tal que
l < r < 1
Pela definição de limite, existe N tal que, para todo n>= N,
|an+1an| < r

Passo 3

Dessa desigualdade, para n>= N temos
|an+1| < r,|an|
Iterando essa relação de N até n, obtemos
|an| < |aN|,r^,n-N
Como 0<r<1, a sequência r^,n-N tende a zero quando ntoinfty. Logo |an|to0 e, portanto, anto0.

Resposta

Verdadeiro.

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