Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral0^4 4 x-x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^4l(4x - x^2r),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Vamos precisar:
– enunciar o TFC;
– encontrar uma antiderivada de f(x)=4x - x^2;
– avaliar essa antiderivada nos limites 0 e 4.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (isto é, F'(x)=f(x)), então
integrala^bf(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 3

Precisamos achar F(x) tal que F'(x)=4x - x^2. Calculando:
F(x) = integral l(4x - x^2r),dx = integral 4x,dx ;-;integral x^2,dx = 2x^2 ;-;x^33 + C
Como vamos usar apenas a diferença F(4)-F(0), podemos tomar C=0.

Passo 4

Aplicando o TFC:
integral0^4l(4x - x^2r),dx = l[,2x^2 - tfracx^33r]0^4 = l(2cdot4^2 - tfrac4^33r) - l(2cdot0^2 - tfrac0^33r) = l(2cdot16 - tfrac643r) = 32 - tfrac643 = tfrac963 - tfrac643 = tfrac323

Resposta

integral0^4l(4x - x^2r),dx = 323

Exercícios relacionados