3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Estamos em um contexto de séries de potências e vamos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
a_n = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O critério da razão diz que a série converge se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1.

Passo 3

Calculamos a razão
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+2} x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\,\frac{(2n-1)!}{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}\right| = \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\,\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}} = \frac{x^2}{(2n)(2n+1)}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty, obtemos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{x^2}{2n(2n+1)} = 0.
Como 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para qualquer valor de x. Logo, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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