3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências: primeiro encontramos o raio de convergência e depois investigamos as extremidades.
Passo 2
Definindo
a_{n} = \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}},
aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x+5)^{n}}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{n^{2}}{(x+5)^{n-1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|x+5\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =\bigl|x+5\bigr|.
Passo 3
Para a série convergir pelo teste da razão, precisamos de
L<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x+5\bigr|<1.
Isso dá o raio de convergênciaR=1 e o intervalo central