3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências: primeiro encontramos o raio de convergência e depois investigamos as extremidades.

Passo 2

Definindo
a_{n} = \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}},
aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x+5)^{n}}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{n^{2}}{(x+5)^{n-1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|x+5\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =\bigl|x+5\bigr|.

Passo 3

Para a série convergir pelo teste da razão, precisamos de
L<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x+5\bigr|<1.
Isso dá o raio de convergência R=1 e o intervalo central
-1 < x+5 < 1 \quad\Longrightarrow\quad -6 < x < -4.

Passo 4

Testamos x=-4. Então x+5=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n-1}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que é uma série p- com p=2>1, portanto converge.

Passo 5

Testamos x=-6. Então x+5=-1 e a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}},
que também converge absolutamente (é série p com p=2). Logo converge em x=-6.

Resposta

O intervalo de convergência é \bigl[-6,-4\bigr].

Exercícios relacionados