3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} n!x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} n! \, x^n.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

No teste da razão, consideramos o quociente dos termos consecutivos em valor absoluto:
\frac{|a_{n+1}x^{n+1}|}{|a_n x^n|} \quad\text{onde}\quad a_n = n!.
Substituindo,
\frac{|(n+1)! \, x^{n+1}|}{|n! \, x^n|} = (n+1)\,|x|.

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando n\to\infty\): \[\lim_{n\to\infty} (n+1)\,|x| = \begin{cases} 0, & \text{se }x=0,\\\\ +\infty, & \text{se }x\neq0. \end{cases}
Para convergência pelo teste da razão, precisamos desse limite ser menor que 1\]. Isso só acontece quando \(x=0.

Passo 4

Concluímos que o raio de convergência é R=0, ou seja, a série só converge no ponto x=0.

Resposta

O intervalo de convergência é \{0\}.

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