3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}.
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência usando, por exemplo, o teste da razão.

Passo 2

Definimos o n-ésimo termo da série como
a_n = \frac{2^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 3

Vamos à razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{2^{\,n+1}}{(2n+2)!}\,|x|^{2n+2}\;\bigg/\;\frac{2^{n}}{(2n)!}\,|x|^{2n} = \frac{2\,|x|^2}{(2n+2)(2n+1)}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{2\,|x|^2}{(2n+2)(2n+1)} = 0.

Passo 4

O teste da razão diz que, se \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|<1,
a série converge. Aqui o limite é 0 para qualquer x, ou seja, sempre <1. Logo o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é \bigl(-\infty,\infty\bigr).

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