3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} Passo 1O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}. O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência usando, por exemplo, o teste da razão. Passo 2Definimos o n-ésimo termo da série como a_n = \frac{2^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}. Aplicamos o teste da razão, calculando \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Passo 3Vamos à razão: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{2^{\,n+1}}{(2n+2)!}\,|x|^{2n+2}\;\bigg/\;\frac{2^{n}}{(2n)!}\,|x|^{2n} = \frac{2\,|x|^2}{(2n+2)(2n+1)}. Tomando o limite quando n\to\infty, \lim_{n\to\infty}\frac{2\,|x|^2}{(2n+2)(2n+1)} = 0. Passo 4O teste da razão diz que, se \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|<1, a série converge. Aqui o limite é 0 para qualquer x, ou seja, sempre <1. Logo o raio de convergência é infinito. RespostaO intervalo de convergência é \bigl(-\infty,\infty\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} 3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} 3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n} x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n+1)} 3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n} x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n+1)}