3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n} x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}\,x^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}.
O conteúdo principal aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{\sqrt{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)} = \frac{\sqrt{n}}{(2n+1)!!},
onde (2n+1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1). Para aplicar o teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n}\right|.

Passo 3

Observe que
(2(n+1)+1)!!=(2n+3)!!=(2n+3)\,(2n+1)!!.
Então
\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n} =\frac{\sqrt{\,n+1\,}}{(2n+3)!!}\,\frac{(2n+1)!!}{\sqrt{n}}\;|x| =\sqrt{\frac{n+1}{n}}\;\frac{|x|}{2n+3}.

Passo 4

Agora fazemos n\to\infty:
\sqrt{\frac{n+1}{n}}\;\longrightarrow1, \quad 2n+3\;\longrightarrow\infty,
portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}\;\frac{|x|}{2n+3} =\frac{|x|}{\infty} =0.

Passo 5

O teste da razão diz que a série converge se L<1. Aqui L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}. Logo o raio de convergência é R=\infty e a série converge para todos os reais.

Resposta

O intervalo de convergência é \bigl(-\infty,\infty\bigr).

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