3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
O conteúdo envolvido é séries de potências: vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois verificar a convergência nos extremos pelo teste de p-série e pelo teste de Leibniz.
Passo 2
Aplicando o teste da raiz, consideramos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n-1]{\left|\frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right|} =\;|3-x|\;\lim_{n\to\infty}n^{-\tfrac{1}{2(n-1)}} =\;|3-x|.
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de L<1, isto é
|3-x|<1.
Passo 3
A desigualdade |3-x|<1 equivale a
2<x<4.
Logo, no interior desse intervalo a série converge absolutamente.
Passo 4
Verificamos agora os extremos:
Para x=2 temos (3-2)^{n-1}=1 e a série reduz a
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}},
que é uma p-série com p=\tfrac12<1 e, portanto, diverge.
Para x=4 temos (3-4)^{n-1}=(-1)^{n-1} e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}},
cujo termo geral em módulo é decrescente e tende a zero. Pelo teste de Leibniz para séries alternantes, essa série converge (condicionalmente).