3.4C Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
\frac{1}{1-4 x}

Passo 1

O enunciado pede para representar a função
f(x)=\frac{1}{1-4x}
como uma série de potências em x, usando a fórmula básica da série geométrica
\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n,\quad |t|<1.

Passo 2

Reconhecemos em f(x) o formato com t=4x. Assim, aplicando a série geométrica:
\frac{1}{1-4x} =\frac{1}{1-(4x)} =\sum_{n=0}^{\infty}(4x)^n =\sum_{n=0}^{\infty}4^n x^n.

Passo 3

Para saber o raio de convergência, impomos a condição de convergência da série geométrica:
|4x|<1 \;\iff\; |x|<\frac{1}{4}.
Logo, o raio de convergência é
R=\frac{1}{4}.

Passo 4

O intervalo de convergência, retirando os extremos que tornam a série divergente, é
-\,\frac{1}{4}<x<\frac{1}{4}.

Resposta

\frac{1}{1-4x} = \sum_{n=0}^{\infty}4^n x^n, \quad R=\tfrac{1}{4}, \quad \text{intervalo de convergência: }(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}).ê

Exercícios relacionados