3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
e pede o intervalo de convergência em x. O conteúdo aqui é séries de potências, e para achar o raio (e depois o intervalo) de convergência vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definindo
an = x^2n+1(-4)^n,
calculamos a razão
|an+1an| = |x^2(n+1)+1/(-4)^n+1x^2n+1/(-4)^n| = |x|^2n+34^n+1cdot4^n|x|^2n+1 = |x|^24
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de
|x|^24<1 Longrightarrow |x|^2<4 Longrightarrow |x|<2

Passo 3

Agora testamos os extremos:
Para x=2 o termo geral vira
an = 2^2n+1(-4)^n =2cdot4^n(-4)^n =2(-1)^n,
cuja sequência não tende a zero, logo diverge.
Para x=-2 temos
an = (-2)^2n+1(-4)^n =-2cdot4^n(-4)^n =-2(-1)^n,
que também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,2).

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