3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty2^n(2n)!,x^2n
Aqui vamos usar o teste da razão para séries de potências, que diz que a série converge se
L=limntoinfty|tn+1tn|<1,
onde tn=2^n(2n)!,x^2n.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
tn+1tn =2^n+1(2n+2)!,|x|^2(n+1) 2^n(2n)!,|x|^2n =2,|x|^2(2n+2)(2n+1)
Logo,
L=limntoinfty2,|x|^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Para ntoinfty, o denominador (2n+2)(2n+1) cresce como 4n^2, então
L=limntoinfty2,|x|^2(2n+2)(2n+1)=0
Como 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente para todo real.

Resposta

(-infty,infty)

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