Calcule a integral tripla integral triplaT d V, onde T é a região delimitada pelas superfícies:
x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=4-x-y

Passo 1

O enunciado pede o volume da região T limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=0 e z=4-x-y. O conteúdo é integração tripla e convém usar projeção no plano xy e depois coordenadas polares.

Passo 2

A projeção de T no plano xy é o disco
D = (x,y)mid x^2+y^2<= 4
Em cada ponto de D, a coordenada z varia de 0 até 4 - x - y. Assim o volume é
V = integral triplaT dV = integral duplaD l(4 - x - yr),dA

Passo 3

Passamos para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<= 2 e 0<=theta<= 2pi. O integrando torna-se
4 - x - y = 4 - r(costheta + sintheta)

Passo 4

Substituindo em coordenadas polares,
V = integral0^2pi!integral0^2l[4 - r(costheta + sintheta)r],r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^2l(4r - r^2(costheta+sintheta)r),dr,dtheta

Passo 5

Separamos em três integrais:
integral0^2pi!integral0^24r,dr,dtheta ;-;integral0^2pi!integral0^2r^2costheta,dr,dtheta ;-;integral0^2pi!integral0^2r^2sintheta,dr,dtheta
Como integral0^2picostheta,dtheta=0 e integral0^2pisintheta,dtheta=0, restam apenas
4integral0^2pi!integral0^2r,dr,dtheta =4cdot 2picdot 2^22 =16pi

Resposta

16pi

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