3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o intervalo de convergência. Isso envolve determinar o raio de convergência usando, por exemplo, o teste da razão.
Passo 2
Denotemos o termo geral por
Note que o produto no denominador é o fatorial duplo de um número ímpar, ou seja
.
Passo 3
Aplicamos o teste da razão; para
calculamos
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
ntoinfty :
Como esse limite é
0 para todo
x (e
0<1 ), a série converge absolutamente para qualquer valor real de
x .
Resposta
O intervalo de convergência é
(-infty,infty) .