3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty raizn x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n+1)

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=0^inftyraizn,x^n1cdot3cdot5cdots(2n+1)
e pede o intervalo de convergência. Isso envolve determinar o raio de convergência usando, por exemplo, o teste da razão.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
un=raizn,x^n1cdot3cdot5cdots(2n+1)
Note que o produto no denominador é o fatorial duplo de um número ímpar, ou seja (2n+1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n+1).

Passo 3

Aplicamos o teste da razão; para n>=1 calculamos
|un+1un| =raizn+1,|x|^,n+1(1cdot3cdots(2n+3));1cdot3cdots(2n+1)raizn,|x|^n =|x|;raiz,n+1,raizn;12n+3

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|un+1un| =limntoinfty|x|;raizn+1raizn;12n+3 =|x|;12nlongrightarrow;0
Como esse limite é 0 para todo x (e 0<1), a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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