Resolva a equação d x+(xy-sen y) d y=0 procurando x como função de y (portanto considerando d xd y ).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d x + l(xy - sen yr),d y = 0
procurando x como função de y, ou seja, considerando d xd y.
Isso é uma equação linear de primeira ordem em x(y), da forma
d xd y + P(y),x = Q(y)

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivada, dividindo tudo por d y,
d xd y + 1y,x = sen y
Aqui temos P(y)=tfrac1y e Q(y)=sen y.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(y) = expl(integral P(y),d yr) = expl(integral 1y,d yr) = exp(ln|y|) = y(yneq0)

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y:
y,d xd y + x = y,sen y
O lado esquerdo é exatamente a derivada de (y,x), pois
dd y(y,x) = y,d xd y + x
Logo
dd y(y,x) = y,sen y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y:
y,x = integral y,sen y,d y + C
Para integral y,sen y,d y usamos integração por partes com
u = y, dv = sen y,dy. Então
integral y,sen y,d y = -ycos y + integral cos y,d y = -ycos y + sen y + C1
Incorporando a constante em C, obtemos
y,x = -ycos y + sen y + C

Passo 6

Isolando x:
x(y) = -ycos y + sen y + Cy = -cos y + sen yy + Cy

Resposta

x(y) = -cos y + sen yy + Cy,
onde C é constante de integração.

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