3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty x^n arctg n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyx^narctan(n)
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência usando o teste da razão, e em seguida testar a convergência nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
an = x^narctan(n)
Calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinftyl|xr|arctan(n+1)arctan(n) =l|xr|cdotlimntoinftyarctan(n+1)arctan(n) =l|xr|cdot1 =l|xr|
O teste da razão diz que a série converge se lim|tfracan+1an|<1, ou seja lvert xrvert<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Testamos o extremo x=1. A série fica
sumn=1^inftyarctan(n)
Como limntoinftyarctan(n)=pi2neq0, os termos não vão a zero, logo a série diverge pelo teste da divergência.

Passo 4

Testamos o extremo x=-1. A série fica
sumn=1^infty(-1)^narctan(n)
Ainda assim arctan(n)topi2neq0, então os termos gerais (-1)^narctan(n) não tendem a zero e a série também diverge pelo teste da divergência.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-1,1)

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