3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência usando o teste da razão, e em seguida testar a convergência nos extremos
e
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à sequência de termos
Calculamos
O teste da razão diz que a série converge se
lim|tfracan+1an|<1 , ou seja
lvert xrvert<1 . Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
Testamos o extremo
x=1 . A série fica
Como
limntoinftyarctan(n)=pi2neq0 , os termos não vão a zero, logo a série diverge pelo teste da divergência.
Passo 4
Testamos o extremo
x=-1 . A série fica
Ainda assim
arctan(n)topi2neq0 , então os termos gerais
(-1)^narctan(n) não tendem a zero e a série também diverge pelo teste da divergência.
Resposta
O intervalo de convergência é