com condições de contorno de Neumann ux(t,0)=ux(t,pi)=0 e condição inicial u(0,x)=3-4cos(2x);
b) mostrar que a série de Fourier da função periódica de período 2pi,
f(theta)= -1,&thetain(-pi,0), 1,&thetain[0,pi],
é
4pisumn=1^inftysinl((2n-1)thetar)2n-1
O conteúdo necessário inclui separação de variáveis, problema de valores próprios com BC de Neumann e expansão em série de Fourier.
Passo 2
Procuramos solução por separação de variáveis u(t,x)=T(t),X(x). Substituindo na PDE e dividindo por T,X obtemos
T'(t)T(t)=110X''(x)X(x)=-lambda
Isto gera dois ODEs:
X''(x)+lambda X(x)=0, X'(0)=X'(pi)=0,
T'(t)+lambda10,T(t)=0
Passo 3
O problema de valores próprios com Neumann tem autovalores
lambdan=n^2, n=0,1,2,dots,
e autofunções
Xn(x)=cos(nx)
A equação temporal dá
Tn(t)=An,e^-lambdan t/10=An,e^-n^2 t/10
Logo a solução geral é
u(t,x)=sumn=0^inftyAn,e^-n^2 t/10cos(nx),
onde para n=0 a função cos(0x)=1 dá o termo constante.
Passo 4
Impondo a condição inicial
u(0,x)=sumn=0^inftyAncos(nx)=3-4cos(2x),
vemos que A0=3, A2=-4 e An=0 para nneq0,2.
Passo 5
Substituindo os coeficientes na série, a solução do problema de calor é