Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Usando o método de separação de variáveis, ache uma solução u:[0, T] times [0, pi] R do problema:
c partial upartial t(t, x)=110 partial^2 upartial x^2(t, x), (t, x) in] 0, T[times] 0, pi[ partial upartial x(t, 0)=partial upartial x(t, pi)=0, t in] 0, T] u(0, x)=3-4 cos (2 x), x in] 0, pi[
OBS: Repita o procedimento feito em sala de aula.
b) Mostre que a série de Fourier da função f: R R, 2 pi periódica, dada por
f(theta)= -1, & t in]-pi, 0[ 1, & t in[0, pi]
é a série dada por 4pi sumn=1^infty sen[(2 n-1) theta]2 n-1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) encontrar uma solução u(t,x) do problema de calor unidimensional
partial upartial t=110partial^2 upartial x^2, xin(0,pi),;tin(0,T),
com condições de contorno de Neumann ux(t,0)=ux(t,pi)=0 e condição inicial u(0,x)=3-4cos(2x);
b) mostrar que a série de Fourier da função periódica de período 2pi,
f(theta)= -1,&thetain(-pi,0), 1,&thetain[0,pi],
é
4pisumn=1^inftysinl((2n-1)thetar)2n-1
O conteúdo necessário inclui separação de variáveis, problema de valores próprios com BC de Neumann e expansão em série de Fourier.

Passo 2

Procuramos solução por separação de variáveis u(t,x)=T(t),X(x). Substituindo na PDE e dividindo por T,X obtemos
T'(t)T(t)=110X''(x)X(x)=-lambda
Isto gera dois ODEs:
X''(x)+lambda X(x)=0, X'(0)=X'(pi)=0,
T'(t)+lambda10,T(t)=0

Passo 3

O problema de valores próprios com Neumann tem autovalores
lambdan=n^2, n=0,1,2,dots,
e autofunções
Xn(x)=cos(nx)
A equação temporal dá
Tn(t)=An,e^-lambdan t/10=An,e^-n^2 t/10
Logo a solução geral é
u(t,x)=sumn=0^inftyAn,e^-n^2 t/10cos(nx),
onde para n=0 a função cos(0x)=1 dá o termo constante.

Passo 4

Impondo a condição inicial
u(0,x)=sumn=0^inftyAncos(nx)=3-4cos(2x),
vemos que A0=3, A2=-4 e An=0 para nneq0,2.

Passo 5

Substituindo os coeficientes na série, a solução do problema de calor é
u(t,x) = A0 + A2,e^-2^2,t/10cos(2x) = 3 -4,e^-4t/10cos(2x) = 3 -4,e^-2t/5cos(2x)

Passo 6

Agora, para a parte (b), notamos que f(theta) é função ímpar de período 2pi. A série de Fourier geral é
f(theta) =sumk=1^inftyl(akcos(ktheta)+bksin(ktheta)r),
mas pela imparidade de f todos os ak=0 e só ficam termos em sin(ktheta).

Passo 7

O coeficiente
bk =1piintegral-pi^pif(theta)sin(ktheta),dtheta
pode ser reduzido, pela imparidade, a
bk =2piintegral0^pif(theta)sin(ktheta),dtheta =2piintegral0^pi1cdotsin(ktheta),dtheta =2pi,kl(1-(-1)^kr)
Daí bk=0 se k é par e, para k=2n-1 ímpar,
b2n-1 =4pi(2n-1)

Passo 8

Portanto a série de Fourier de f fica
f(theta) =sumn=1^inftyb2n-1sinl((2n-1)thetar) =4pisumn=1^inftysinl((2n-1)thetar)2n-1

Resposta

a) u(t,x)=3-4,e^-2t/5cos(2x)
b) f(theta)=4pisumn=1^inftysinl((2n-1)thetar)2n-1

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