3.4C Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(\mathrm{k}) \frac{1}{(1-x)^{3}}\'

Passo 1

O enunciado pede para representar
\frac{1}{(1 - x)^3}
como série de potências em x e determinar o raio e o intervalo de convergência.
Conteúdo: usar a série geométrica
\frac{1}{1 - x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty} x^n,\quad |x|<1,
e aplicar diferenciação termo a termo.

Passo 2

Primeiro, diferenciamos
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n
para obter a série de \tfrac{1}{(1 - x)^2}. Temos
\frac{d}{dx}\,\frac{1}{1 - x} \;=\;\frac{1}{(1 - x)^2},
e, termo a termo,
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} x^n =\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1} =\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\,x^k.
Logo
\frac{1}{(1 - x)^2} \;=\;\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\,x^k.

Passo 3

Em seguida, diferenciamos mais uma vez para chegar em \tfrac{1}{(1 - x)^3}.
\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1 - x)^2} \;=\;\frac{2}{(1 - x)^3},
e, pelo mesmo procedimento,
\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,x^k =\sum_{k=1}^{\infty}(k+1)\,k\,x^{k-1} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,x^n.
Portanto
\frac{2}{(1 - x)^3} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,x^n.

Passo 4

Isolando \tfrac{1}{(1 - x)^3}, dividimos por 2:
\frac{1}{(1 - x)^3} =\frac{1}{2}\,\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\;x^n.

Passo 5

O raio de convergência não muda pelas diferenciações sucessivas, portanto
R = 1.
O intervalo de convergência é dado por |x|<1, ou seja
-1 < x < 1.
Nos pontos x=\pm1 os termos gerais não tendem a zero, logo diverge.

Resposta

\frac{1}{(1 - x)^3} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\;x^n, \quad R=1,\quad -1<x<1.

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