3.4C Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para representar
como série de potências em
e determinar o raio e o intervalo de convergência.
Conteúdo: usar a série geométrica
Conteúdo: usar a série geométrica
e aplicar diferenciação termo a termo.
Passo 2
Primeiro, diferenciamos
para obter a série de
. Temos
e, termo a termo,
Logo
Passo 3
Em seguida, diferenciamos mais uma vez para chegar em
.
e, pelo mesmo procedimento,
Portanto
Passo 4
Isolando
, dividimos por
:
Passo 5
O raio de convergência não muda pelas diferenciações sucessivas, portanto
O intervalo de convergência é dado por
, ou seja
Nos pontos
os termos gerais não tendem a zero, logo diverge.