Usando Transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. As. suma que
e
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O conteúdo é resolução de PDE com transformada de Fourier em
. Vamos (i) aplicar a transformada em
, (ii) resolver a EDO resultante em
, (iii) inverter a transformada para obter
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
por
Aplicando em cada termo da PDE:
-
, -
.
Logo a PDE vira
Passo 3
Para
dividimos por
e obtemos a EDO
A solução geral é
onde
vem da condição inicial.
Passo 4
Computamos
pois sabe‐se que
. Assim
Passo 5
Para inverter, usamos
Passo 6
Empregamos a identidade conhecida
Tomando
resulta