Usando Transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. As. suma que -\infty<x<\infty e t>0.
\left\{\begin{array}{l} u_{x t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-|x|} . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} u_{x t}=u_{x x},& -\infty<x<\infty,\;t>0,\\\ u(x,0)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,e^{-|x|}. \end{cases}
O conteúdo é resolução de PDE com transformada de Fourier em x. Vamos (i) aplicar a transformada em x, (ii) resolver a EDO resultante em t, (iii) inverter a transformada para obter u(x,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x por
U(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando em cada termo da PDE:
  • \mathcal{F}_x[u_{x t}](k,t)=ik\,\partial_t U(k,t),
  • \mathcal{F}_x[u_{x x}](k,t)=-k^2\,U(k,t).
    Logo a PDE vira
ik\,\partial_t U(k,t)=-k^2\,U(k,t).

Passo 3

Para k\neq0 dividimos por ik e obtemos a EDO
\partial_t U(k,t)=i k\,U(k,t).
A solução geral é
U(k,t)=A(k)\,e^{ik t},
onde A(k)=U(k,0) vem da condição inicial.

Passo 4

Computamos
A(k)=U(k,0) =\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,e^{-|x|}\,e^{-ikx}\,dx =\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;\frac{2}{1+k^2},
pois sabe‐se que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-ikx}dx=2/(1+k^2). Assim
U(k,t) =2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;\frac{e^{ik t}}{1+k^2}.

Passo 5

Para inverter, usamos
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik(x+t)}}{1+k^2}\,dk =\frac{\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik(x+t)}}{1+k^2}\,dk.

Passo 6

Empregamos a identidade conhecida
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik a}}{1+k^2}\,dk =\pi\,e^{-|a|}.
Tomando a=x+t resulta
u(x,t) =\frac{\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}}{\pi}\;\pi\,e^{-|x+t|} =\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;e^{-|x+t|}.

Resposta

u(x,t)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;e^{-|x+t|}.

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