3.4C Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver
f(x)=\frac{1+x^{2}}{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}}
como série de potências em x partindo da fórmula base
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n},\quad |u|<1,
e determinar o raio e o intervalo de convergência. Aqui vamos usar também a expansão conhecida
\frac{1}{(1-u)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,u^{n},\quad |u|<1.

Passo 2

Começo fazendo a substituição u=x^{2} na expansão de \frac{1}{(1-u)^{2}}. Assim, para |x|<1 vale
\frac{1}{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{2n}.

Passo 3

Agora multiplico essa série por (1+x^{2}):
\frac{1+x^{2}}{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}} =\biggl(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}\biggr) +\biggl(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n+2}\biggr).

Passo 4

Para combinar as duas somas, observe que na segunda soma podemos trocar o índice: defina k=n+1, então
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n+2} =\sum_{k=1}^{\infty}k\,x^{2k}.
Na primeira soma temos \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{2n}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^{2k}. Somando termo a termo, o coeficiente de x^{2k} fica
(k+1)+ \begin{cases} 0,&k=0,\\\ k,&k\ge1, \end{cases} \;=\;2k+1\quad(\text{para }k\ge0).

Passo 5

Portanto a série resultante é
\frac{1+x^{2}}{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(2k+1)\,x^{2k}.

Passo 6

Como a expansão em u=x^{2} exigia |x^{2}|<1, o raio de convergência em x é R=1, e o intervalo de convergência é
(-1,1).

Resposta

\frac{1+x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)\,x^{2n}, \quad R=1, \quad \text{IC}=(-1,1).

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