1.4D Calcule o limite das seguintes seqüências:
(g) raizn!+e^2 n5 raizn!-e^n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = raizn! + e^2n5,raizn! - e^n
quando ntoinfty.
Conteúdo: limite de sequência envolvendo crescimento de n! versus funções exponenciais. Vamos precisar do comportamento assintótico do fatorial (fórmula de Stirling) para comparar quais termos dominam no numerador e no denominador.

Passo 2

Pela fórmula de Stirling temos
n! sim raiz2pi n,l(tfracner)^n,
portanto
raizn!sim (2pi n)^1/4,l(tfracner)^n/2

Passo 3

Comparemos e^2n com raizn!.
e^2nraizn! sim exp(2n)exp!l(tfrac n2(ln n -1)+tfrac14ln(2pi n)r) =exp!l(2n - tfrac n2(ln n -1)+O(ln n)r)
Como ln ntoinfty, o expoente ;2n - tfrac n2ln n + tfrac n2to -infty, logo
e^2nraizn!to 0

Passo 4

De modo análogo,
e^nraizn! sim exp!l(n - tfrac n2(ln n -1)+O(ln n)r) to 0
Isto mostra que, para n grande, tanto e^2n no numerador quanto e^n no denominador são negligenciáveis diante de raizn!.

Passo 5

Logo, para ntoinfty,
an =raizn!l(1 + o(1)r)5,raizn!l(1 + o(1)r) ;longrightarrow;15

Resposta

15

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