Q. 4(2,7). Simplificando, determine a derivada de cada função a seguir:
(c) h(x)=raiz[5]3^1-x^5-tg(x^2+x-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x)=raiz[5]3^1-x^5-tgl(x^2+x-1r)
Para isso vamos usar a regra da cadeia em dois casos:
  1. Derivada de uma potência de base fixa 3 (exponencial com base 3) combinada com raiz de índice 5.
  2. Derivada da função tangente, lembrando que l(tg(u)r)'=u',sec^2(u).

Passo 2

Reescrevemos o primeiro termo como exponencial:
raiz[5]3^1-x^5=l(3^1-x^5r)^tfrac15=3^1-x^55

Passo 3

Derivando 3^1-x^55:
  • Seja u(x)=tfrac1-x^55. Então l(3^u(x)r)'=3^u(x)ln(3),u'(x).
  • Calculamos
u'(x)=ddxl(tfrac1-x^55r) =-5x^45=-x^4
Logo
ddxl(3^1-x^55r) =3^1-x^55ln(3),(-x^4) =-x^4ln(3),3^1-x^55

Passo 4

Para o segundo termo tgl(x^2+x-1r), definimos v(x)=x^2+x-1. Assim
ddxl[tg(v(x))r] =v'(x),sec^2l(v(x)r) =(2x+1),sec^2l(x^2+x-1r)

Passo 5

Como h(x)=l[3^1-x^55r]-tgl(x^2+x-1r), sua derivada é
h'(x) =-x^4ln(3),3^1-x^55 ;-;(2x+1),sec^2l(x^2+x-1r)

Resposta

h'(x) =-x^4ln(3),3^1-x^55 -(2x+1),sec^2l(x^2+x-1r)

Exercícios relacionados