3.4D Represente a função f(x)=e^{\sqrt{x}}, x>0, por uma série de potências (fracionárias) de x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=e^{\sqrt{x}},\quad x>0
como uma série de potências em x (porém com expoentes possivelmente fracionários). Para isso vamos usar a expansão de Maclaurin de e^{u} e, em seguida, fazer u=\sqrt{x}.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^{u} é
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}\,.
Substituindo u=\sqrt{x} obtemos
e^{\sqrt{x}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\,n/2}}{n!}\,.

Resposta

e^{\sqrt{x}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{\,n/2}}{n!}\,.

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