5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(y+x^4 y^2) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(y + x^4y^2r),dx + x,dy = 0,
e pede um fator integrante e a solução geral. O conteúdo envolve equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y + x^4y^2, N(x,y)=x
Calculamos
My=1+2x^4y, Nx=1,
como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo mu(x,y)=x^my^n. Multiplicando, definimos
M^*=x^my^n(y+x^4y^2), N^*=x^my^n,x

Passo 4

Para exatidão precisamos
M^*y=N^*x
Calculamos
M^*y=(n+1)x^my^n+(n+2)x^m+4y^n+1, N^*x=(m+1)x^my^n
Igualando termos de potências, vem n+2=0Rightarrow n=-2 e depois n+1=m+1Rightarrow m=-2.

Passo 5

Temos
mu(x,y)=x^-2y^-2=1x^2y^2
Multiplicando a equação original:
M^*=y+x^4y^2x^2y^2 =1x^2y+x^2, N^*=xx^2y^2 =1x,y^2

Passo 6

Verificamos exatidão agora:
partial M^*partial y =1x,y^2 =partial N^*partial x

Passo 7

Buscamos F(x,y) tal que Fx=M^*. Integramos em x:
F(x,y) =integrall(1x^2y+x^2r),dx =-1x,y+x^33+h(y)

Passo 8

Impondo Fy=N^* temos
partialpartial yl(-1x,y+x^33+h(y)r) =1x,y^2+h'(y) stackrel!=1x,y^2,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 9

A solução implícita é
-1x,y+x^33=C

Resposta

-1x,y+x^33=C

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