Determine as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, ao gráfico da função
f(x)=x^3-15 x^3-20 x^2+15 x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^3-15x^3-20x^2+15x
O conteúdo envolvido é análise de funções racionais: vamos precisar fatorar numerador e denominador, examinar zeros do denominador e calcular limites em xtopminfty.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1),
5x^3-20x^2+15x = 5x,(x^2-4x+3)=5x,(x-1)(x-3)
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f(x) =(x-1)(x^2+x+1)5x,(x-1)(x-3)
Podemos simplificar o fator comum (x-1), obtendo a função equivalente para xneq1:
f(x)=x^2+x+15x,(x-3)

Passo 3

Os zeros do denominador original são x=0, x=1 e x=3.
  • Em x=1 numerador e denominador se anulam, é um ponto removível (furo), não assíntota.
  • Em x=0 o numerador vale (0)^2+0+1=1neq0, logo pólo simples to assíntota vertical em x=0.
  • Em x=3 o numerador vale 3^2+3+1=13neq0, pólo simples to assíntota vertical em x=3.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, calculamos
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyx^3-15x^3-20x^2+15x =15,
pois os polinômios têm mesmo grau e a assíntota é a razão dos coeficientes de x^3.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0 e x=3.
Assíntota horizontal: y=tfrac15.

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