Exercício 3. Considere as normas de um vetor x=(x1, x2, ldots, xN) in R^N definidas como:
|x|1:=|x1|+|x2|+cdots+|xN| |x|2:=raizx1^2+x2^2+cdots+xN^2 |x|s:=(|x1|^s+|x2|^s+cdots+|xN|^s)^1 / s
|x|infty:=max |x1|,|x2|, ldots,|xN|
onde s in(1,+infty). Mostre que estas normas são equivalentes em R^N, obtendo explicitamente as melhores constantes possíveis em cada caso.
Em seguida, fixados Omega subseteq R^d aberto e p>1, utilize o resultado acima para obter constantes explícitas de equivalência para as seguintes normas equivalentes do Espaço de Sobolev W^1, p(Omega) :
|u|L^p(Omega)+|partial1 u|L^p(Omega)+cdots+|partiald u|L^p(Omega) raiz|u|L^p(Omega)^2+|partial1 u|L^p(Omega)^2+cdots+|partiald u|L^p(Omega)^2 (|u|L^p(Omega)^s+|partial1 u|L^p(Omega)^s+cdots+|partiald u|L^p(Omega)^s)^1 / s (|u|L^p(Omega)^p+|nabla u|L^p(Omega)^p)^1 / p max |u|L^p(Omega),|partial1 u|L^p(Omega), ldots,|partiald u|L^p(Omega)
Observe que tais constantes devem depender apenas de p e de d.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, em R^N, as normas
|x|1, |x|2, |x|s;(1<s<infty), |x|infty
são equivalentes, encontrando as melhores constantes em cada comparação. Em seguida, para p>1 e OmegasubseteqR^d aberto, usar esse resultado com N=d+1 para obter constantes explícitas (dependendo só de p e d) que mostram a equivalência das cinco maneiras de definir a norma em W^1,p(Omega):
|u|1:=|u|L^p+sumi=1^d|partialiu|L^p (é um “ ell1” em d+1 componentes),
|u|2:=raiz|u|L^p^2+sumi=1^d|partialiu|L^p^2,
|u|s:=l(|u|L^p^s+sumi=1^d|partialiu|L^p^sr)^1/s,
|u|p:=l(|u|L^p^p+|nabla u|L^p^pr)^1/p,
|u|infty:=max|u|L^p,,|partial1u|L^p,dots.

Passo 2

Teorema geral em R^N: se 1<= r<= q<=infty, então para todo xinR^N vale
|x|q<= |x|r<= N^1r-1q,|x|q
Prova resumida:
1. Para q>= r, usando |xi|^q<=|xi|^r,|x|infty^,q-r<=|x|r^q obtemos sum|xi|^q<=|x|r^q, logo |x|q<=|x|r.
2. Pela desigualdade de Hölder com expoentes tfrac q r e tfrac qq-r em sum|xi|^rcdot1, surge
sumi=1^N|xi|^r<=l(sum|xi|^qr)^r/ql(sum1^ qq-rr)^q-rq =|x|q^r,N^q-rq,
daí |x|r<= N^1r-1q,|x|q.

Passo 3

Aplicando esse lema aos pares (r,q) em 1,2,s,infty, obtemos imediatamente as constantes ótimas:
— Entre |cdot|1 e |cdot|2:
|x|2<=|x|1<= N^1-tfrac12,|x|2=N^tfrac12,|x|2
— Entre |cdot|1 e |cdot|s:
|x|s<=|x|1<= N^1-tfrac1s,|x|s
— Entre |cdot|1 e |cdot|infty:
|x|infty<=|x|1<= N,|x|infty
— Entre |cdot|2 e |cdot|s: se 2<= s então
|x|s<=|x|2<= N^tfrac12-tfrac1s,|x|s,
e se 1<s<=2 invertem-se os papéis de r e q.
— Entre |cdot|q e |cdot|infty para qualquer qin1,2,s:
|x|infty<=|x|q<= N^tfrac1q,|x|infty

Passo 4

Em W^1,p(Omega) tomamos o vetor em R^N com N=d+1:
v(u)=l(|u|L^p,,|partial1u|L^p,dots,|partialdu|L^pr)
As cinco normas listadas são exatamente as ell1,ell2,ells,ellp,ellinfty de v(u). Logo, basta aplicar as desigualdades do Passo 2 com N=d+1 para concluir que todas essas normas em W^1,p(Omega) são equivalentes, com constantes
(d+1)^1r-1q,
onde r<= q são os expoentes do par de normas que estamos comparando. Em particular, dependem só de d e de p (e, no caso da norma ells, também de s, mas o enunciado permite isso).

Resposta

Em R^N (com N=d+1 no caso de W^1,p) vale para quaisquer 1<= r<= q<=infty e todo x:
|x|q<=|x|r<= N^1r-1q,|x|q
Transposto a W^1,p(Omega), isso diz que se |cdot|r e |cdot|q são duas das cinco normas dadas, então
|u|q<=|u|r<= (d+1)^1r-1q,|u|q,
com (d+1)^1/r-1/q sendo o melhor fator de equivalência, dependendo apenas de d e dos expoentes envolvidos.

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