Exercício 3. Considere as normas de um vetor
definidas como:
onde
. Mostre que estas normas são equivalentes em
, obtendo explicitamente as melhores constantes possíveis em cada caso.
Em seguida, fixados
aberto e
, utilize o resultado acima para obter constantes explícitas de equivalência para as seguintes normas equivalentes do Espaço de Sobolev
:
Observe que tais constantes devem depender apenas de
e de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, em
, as normas
são equivalentes, encontrando as melhores constantes em cada comparação. Em seguida, para
e
aberto, usar esse resultado com
para obter constantes explícitas (dependendo só de
e
) que mostram a equivalência das cinco maneiras de definir a norma em
:
—
(é um “
” em
componentes),
— ,
— ,
— ,
— .
—
—
—
—
Passo 2
Teorema geral em
: se
, então para todo
vale
Prova resumida:
. Para
, usando
obtemos
, logo
.
. Pela desigualdade de Hölder com expoentes
e
em
, surge
daí
.
Passo 3
Aplicando esse lema aos pares
em
, obtemos imediatamente as constantes ótimas:
— Entre
e
:
— Entre
e
:
— Entre
e
:
— Entre
e
: se
então
e se
invertem-se os papéis de
e
.
— Entre
e
para qualquer
:
Passo 4
Em
tomamos o vetor em
com
:
As cinco normas listadas são exatamente as
de
. Logo, basta aplicar as desigualdades do Passo
com
para concluir que todas essas normas em
são equivalentes, com constantes
onde
são os expoentes do par de normas que estamos comparando. Em particular, dependem só de
e de
(e, no caso da norma
, também de
, mas o enunciado permite isso).
Resposta
Em
(com
no caso de
) vale para quaisquer
e todo
:
Transposto a
, isso diz que se
e
são duas das cinco normas dadas, então
com
sendo o melhor fator de equivalência, dependendo apenas de
e dos expoentes envolvidos.